Exercice 59

Question : Factorisez.

1. \(4x + 12 =\)

2. \(5x + x^{2} =\)

3. \(6xy - 3y =\)

4. \(9x^{3} + 9x^{2} + 9x =\)

5. \(6xy^{2} + 24x^{2}y - 12xy =\)

6. \(-12a^{2}b - 24a^{2} =\)

Réponse

Résumé des réponses factorisées :

1. \(4x + 12 = 4(x + 3)\)

2. \(5x + x^{2} = x(x + 5)\)

3. \(6xy - 3y = 3y(2x - 1)\)

4. \(9x^{3} + 9x^{2} + 9x = 9x(x^{2} + x + 1)\)

5. \(6xy^{2} + 24x^{2}y - 12xy = 6xy(4x + y - 2)\)

6. \(-12a^{2}b - 24a^{2} = -12a^{2}(b + 2)\)

Corrigé détaillé

Correction des Exercices de Factorisation

a) \(4x + 12 =\)

Étapes de résolution :

1. Identifier les termes communs :
   • Les deux termes sont \(4x\) et \(12\).
   • Le facteur commun est \(4\), car \(4x\) et \(12\) sont tous deux divisibles par \(4\).
2. Factoriser le facteur commun :
   • On met \(4\) en facteur : \[ 4x + 12 = 4(x) + 4(3) = 4(x + 3) \]

Réponse factorisée : \[ 4x + 12 = 4(x + 3) \]

---

b) \(5x + x^{2} =\)

Étapes de résolution :

1. Réécrire les termes par ordre décroissant : \[ x^{2} + 5x \]

2. Identifier le facteur commun :

   • Les deux termes ont \(x\) en commun.

3. Factoriser \(x\) : \[ x^{2} + 5x = x(x) + x(5) = x(x + 5) \]

Réponse factorisée : \[ x^{2} + 5x = x(x + 5) \]

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c) \(6xy - 3y =\)

Étapes de résolution :

1. Identifier les termes communs :
   • Les deux termes sont \(6xy\) et \(-3y\).
   • Le facteur commun est \(3y\).
2. Factoriser \(3y\) : \[ 6xy - 3y = 3y(2x) - 3y(1) = 3y(2x - 1) \]

Réponse factorisée : \[ 6xy - 3y = 3y(2x - 1) \]

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d) \(9x^{3} + 9x^{2} + 9x =\)

Étapes de résolution :

1. Identifier les termes communs :
   • Les trois termes sont \(9x^{3}\), \(9x^{2}\) et \(9x\).
   • Le facteur commun est \(9x\).
2. Factoriser \(9x\) : \[ 9x^{3} + 9x^{2} + 9x = 9x(x^{2}) + 9x(x) + 9x(1) = 9x(x^{2} + x + 1) \]

Réponse factorisée : \[ 9x^{3} + 9x^{2} + 9x = 9x(x^{2} + x + 1) \]

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e) \(6xy^{2} + 24x^{2}y - 12xy =\)

Étapes de résolution :

1. Identifier le facteur commun :
   • Les termes sont \(6xy^{2}\), \(24x^{2}y\) et \(-12xy\).
   • Le facteur commun est \(6xy\).
2. Factoriser \(6xy\) : \[ 6xy^{2} + 24x^{2}y - 12xy = 6xy(y) + 6xy(4x) - 6xy(2) = 6xy(4x + y - 2) \]

Réponse factorisée : \[ 6xy^{2} + 24x^{2}y - 12xy = 6xy(4x + y - 2) \]

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f) \(-12a^{2}b - 24a^{2} =\)

Étapes de résolution :

1. Identifier le facteur commun :
   • Les termes sont \(-12a^{2}b\) et \(-24a^{2}\).
   • Le facteur commun est \(-12a^{2}\).
2. Factoriser \(-12a^{2}\) : \[ -12a^{2}b - 24a^{2} = -12a^{2}(b) - 12a^{2}(2) = -12a^{2}(b + 2) \]

Réponse factorisée : \[ -12a^{2}b - 24a^{2} = -12a^{2}(b + 2) \]

Résumé des Réponses Factorisées

1. \(4x + 12 = 4(x + 3)\)

2. \(5x + x^{2} = x(x + 5)\)

3. \(6xy - 3y = 3y(2x - 1)\)

4. \(9x^{3} + 9x^{2} + 9x = 9x(x^{2} + x + 1)\)

5. \(6xy^{2} + 24x^{2}y - 12xy = 6xy(4x + y - 2)\)

6. \(-12a^{2}b - 24a^{2} = -12a^{2}(b + 2)\)

Conclusion

La factorisation consiste à identifier un facteur commun à tous les termes d’une expression et à le mettre en évidence. Cela simplifie l’expression et facilite les calculs ultérieurs. En suivant les étapes détaillées pour chaque exercice, vous pouvez toujours trouver le facteur commun et factoriser correctement les expressions algébriques.