Question : Factorisez les expressions suivantes :
\(m^{2} + 5m + 6 =\)
\(n^{2} - 3n - 18 =\)
\(z^{2} + 4z - 12 =\)
\(k^{2} - 7k + 10 =\)
\(w^{2} + 6w + 9 =\)
\(u^{2} - 4u - 21 =\)
Résumé des factorisations :
\(m^{2} + 5m + 6 = (m + 2)(m + 3)\)
\(n^{2} - 3n - 18 = (n + 3)(n - 6)\)
\(z^{2} + 4z - 12 = (z + 6)(z - 2)\)
\(k^{2} - 7k + 10 = (k - 2)(k - 5)\)
\(w^{2} + 6w + 9 = (w + 3)^{2}\)
\(u^{2} - 4u - 21 = (u + 3)(u - 7)\)
Étape 1 : Identifier les coefficients
Pour une expression de la forme \(m^{2} + bm + c\), nous avons : - \(b = 5\) - \(c = 6\)
Étape 2 : Trouver deux nombres dont : - Leurs produits sont égaux à \(c = 6\). - Leur somme est égale à \(b = 5\).
Les paires de nombres possibles dont le produit est 6 sont : - 1 et 6 (1 × 6 = 6 ; 1 + 6 = 7) - 2 et 3 (2 × 3 = 6 ; 2 + 3 = 5)
La paire qui convient est 2 et 3 car \(2 + 3 = 5\).
Étape 3 : Écrire l’expression factorisée
\[ m^{2} + 5m + 6 = (m + 2)(m + 3) \]
Étape 1 : Identifier les coefficients
Étape 2 : Trouver deux nombres dont : - Leur produit est \(-18\). - Leur somme est \(-3\).
Les paires possibles : - 3 et -6 (3 × (-6) = -18 ; 3 + (-6) = -3) - (-3) et 6 (-3 × 6 = -18 ; -3 + 6 = 3)
La paire qui convient est 3 et -6.
Étape 3 : Écrire l’expression factorisée
\[ n^{2} - 3n - 18 = (n + 3)(n - 6) \]
Étape 1 : Identifier les coefficients
Étape 2 : Trouver deux nombres dont : - Leur produit est \(-12\). - Leur somme est \(4\).
Les paires possibles : - 6 et -2 (6 × (-2) = -12 ; 6 + (-2) = 4) - (-6) et 2 (-6 × 2 = -12 ; -6 + 2 = -4)
La paire qui convient est 6 et -2.
Étape 3 : Écrire l’expression factorisée
\[ z^{2} + 4z - 12 = (z + 6)(z - 2) \]
Étape 1 : Identifier les coefficients
Étape 2 : Trouver deux nombres dont : - Leur produit est \(10\). - Leur somme est \(-7\).
Les paires possibles : - (-2) et (-5) (-2 × -5 = 10 ; -2 + -5 = -7) - 2 et 5 (2 × 5 = 10 ; 2 + 5 = 7)
La paire qui convient est -2 et -5.
Étape 3 : Écrire l’expression factorisée
\[ k^{2} - 7k + 10 = (k - 2)(k - 5) \]
Étape 1 : Identifier les coefficients
Étape 2 : Trouver deux nombres dont : - Leur produit est \(9\). - Leur somme est \(6\).
Les paires possibles : - 3 et 3 (3 × 3 = 9 ; 3 + 3 = 6) - 1 et 9 (1 × 9 = 9 ; 1 + 9 = 10)
La paire qui convient est 3 et 3.
Étape 3 : Écrire l’expression factorisée
\[ w^{2} + 6w + 9 = (w + 3)^{2} \]
Étape 1 : Identifier les coefficients
Étape 2 : Trouver deux nombres dont : - Leur produit est \(-21\). - Leur somme est \(-4\).
Les paires possibles : - 3 et -7 (3 × -7 = -21 ; 3 + (-7) = -4) - (-3) et 7 (-3 × 7 = -21 ; -3 + 7 = 4)
La paire qui convient est 3 et -7.
Étape 3 : Écrire l’expression factorisée
\[ u^{2} - 4u - 21 = (u + 3)(u - 7) \]