Exercice 57
Question: Factorisez.
- \(x^{2} - 8 x + 16 =\)
- \(9 p^{2} - 6 p + 1 =\)
- \(16 + 24 k + 9 k^{2} =\)
- \(z^{2} + 7 z + 10 =\)
- \(w^{2} - 4 w - 21 =\)
- \(y^{4} - 16 =\)
- \(t^{2} - 7 t + 10 =\)
- \(a^{2} - b^{2} =\)
- \(k^{4} - 6 k^{2} m + 9 m^{2}
=\)
- \(4 d x - 3 e x + 4 d f - 3 f e
=\)
Réponse
Réponse :
- (x – 4)²
- (3p – 1)²
- (3k + 4)²
- (z + 2)(z + 5)
- (w – 7)(w + 3)
- (y – 2)(y + 2)(y² + 4)
- (t – 5)(t – 2)
- (a – b)(a + b)
- (k² – 3m)²
- (4d – 3e)(x + f)
Corrigé détaillé
Voici la correction détaillée pour chacune des factorisations
demandées.
────────────────────────────── a) Factoriser x² – 8x + 16
- On remarque que le trinôme ressemble à un carré parfait. En effet,
si l’on écrit (x – 4)², on obtient : (x – 4)² = x² – 2·4·x + 4² = x² –
8x + 16.
- Ainsi, l’expression se factorise en : (x – 4)².
────────────────────────────── b) Factoriser 9p² – 6p + 1
- Cette expression est aussi un carré parfait. Considérons (3p – 1)² :
(3p – 1)² = (3p)² – 2·3p·1 + 1² = 9p² – 6p + 1.
- Le trinôme se factorise donc en : (3p – 1)².
────────────────────────────── c) Factoriser 16 + 24k + 9k²
- Remettons l’expression sous forme classique en ordre décroissant :
9k² + 24k + 16.
- On remarque que c’est le carré parfait de (3k + 4) puisque : (3k +
4)² = (3k)² + 2·3k·4 + 4² = 9k² + 24k + 16.
- La factorisation est : (3k + 4)².
────────────────────────────── d) Factoriser z² + 7z + 10
- Pour factoriser ce trinôme, on cherche deux nombres dont le produit
est 10 et la somme est 7.
- Les nombres 2 et 5 conviennent car 2 × 5 = 10 et 2 + 5 = 7.
- Ainsi, on écrit : z² + 7z + 10 = (z + 2)(z + 5).
────────────────────────────── e) Factoriser w² – 4w – 21
- Ici, il faut trouver deux nombres dont le produit est –21 et la
somme est –4.
- Les nombres –7 et +3 fonctionnent car (–7) × 3 = –21 et (–7) + 3 =
–4.
- On a donc : w² – 4w – 21 = (w – 7)(w + 3).
────────────────────────────── f) Factoriser y⁴ – 16
- On reconnaît y⁴ comme (y²)² et 16 comme 4². On est en présence d’une
différence de deux carrés.
- La formule de la différence de deux carrés est : A² – B² = (A – B)(A
+ B) avec A = y² et B = 4.
- On obtient : y⁴ – 16 = (y² – 4)(y² + 4).
- De plus, y² – 4 est encore une différence de deux carrés, car y² =
y² et 4 = 2² : y² – 4 = (y – 2)(y + 2).
- La factorisation complète est : (y – 2)(y + 2)(y² + 4).
────────────────────────────── g) Factoriser t² – 7t + 10
- Nous cherchons deux nombres dont le produit est 10 et la somme est
–7.
- Les nombres –5 et –2 conviennent puisque (–5) × (–2) = 10 et (–5) +
(–2) = –7.
- La factorisation devient : t² – 7t + 10 = (t – 5)(t – 2).
────────────────────────────── h) Factoriser a² – b²
- Il s’agit d’une différence de deux carrés qui se factorise selon la
formule : A² – B² = (A – B)(A + B).
- En posant A = a et B = b, on obtient : a² – b² = (a – b)(a +
b).
────────────────────────────── i) Factoriser k⁴ – 6k²m + 9m²
- Pour faciliter la lecture, posons u = k². L’expression devient :
u² – 6m·u + 9m².
- On reconnaît que ce trinôme est un carré parfait puisque : (u –
3m)² = u² – 2·u·3m + (3m)² = u² – 6mu + 9m².
- En remplaçant u par k², on a : (k² – 3m)².
- La factorisation est donc : k⁴ – 6k²m + 9m² = (k² – 3m)².
────────────────────────────── j) Factoriser 4dx – 3ex + 4df –
3fe
- On regroupe les termes par parties qui ont un facteur commun.
Regroupons ainsi : (4dx – 3ex) + (4df – 3fe).
- Dans le premier groupe, factorisons x : 4dx – 3ex = x(4d –
3e).
- Dans le deuxième groupe, factorisons f : 4df – 3fe = f(4d –
3e).
- On remarque que (4d – 3e) est un facteur commun : x(4d – 3e) +
f(4d – 3e) = (4d – 3e)(x + f).
────────────────────────────── Résumé des réponses :
a) (x – 4)²
b) (3p – 1)²
c) (3k + 4)²
d) (z + 2)(z + 5)
e) (w – 7)(w + 3)
f) (y – 2)(y + 2)(y² + 4)
g) (t – 5)(t – 2)
h) (a – b)(a + b)
i) (k² – 3m)²
j) (4d – 3e)(x + f)
Chaque étape a été expliquée pour faciliter la compréhension de la
démarche de factorisation.