Exercice 57

Question: Factorisez.

  1. \(x^{2} - 8 x + 16 =\)
  2. \(9 p^{2} - 6 p + 1 =\)
  3. \(16 + 24 k + 9 k^{2} =\)
  4. \(z^{2} + 7 z + 10 =\)
  5. \(w^{2} - 4 w - 21 =\)
  6. \(y^{4} - 16 =\)
  7. \(t^{2} - 7 t + 10 =\)
  8. \(a^{2} - b^{2} =\)
  9. \(k^{4} - 6 k^{2} m + 9 m^{2} =\)
  10. \(4 d x - 3 e x + 4 d f - 3 f e =\)

Réponse

Réponse :

  1. (x – 4)²
  2. (3p – 1)²
  3. (3k + 4)²
  4. (z + 2)(z + 5)
  5. (w – 7)(w + 3)
  6. (y – 2)(y + 2)(y² + 4)
  7. (t – 5)(t – 2)
  8. (a – b)(a + b)
  9. (k² – 3m)²
  10. (4d – 3e)(x + f)

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée pour chacune des factorisations demandées.

────────────────────────────── a) Factoriser x² – 8x + 16

  1. On remarque que le trinôme ressemble à un carré parfait. En effet, si l’on écrit (x – 4)², on obtient :   (x – 4)² = x² – 2·4·x + 4² = x² – 8x + 16.
  2. Ainsi, l’expression se factorise en :   (x – 4)².

────────────────────────────── b) Factoriser 9p² – 6p + 1

  1. Cette expression est aussi un carré parfait. Considérons (3p – 1)² :   (3p – 1)² = (3p)² – 2·3p·1 + 1² = 9p² – 6p + 1.
  2. Le trinôme se factorise donc en :   (3p – 1)².

────────────────────────────── c) Factoriser 16 + 24k + 9k²

  1. Remettons l’expression sous forme classique en ordre décroissant : 9k² + 24k + 16.
  2. On remarque que c’est le carré parfait de (3k + 4) puisque :   (3k + 4)² = (3k)² + 2·3k·4 + 4² = 9k² + 24k + 16.
  3. La factorisation est :   (3k + 4)².

────────────────────────────── d) Factoriser z² + 7z + 10

  1. Pour factoriser ce trinôme, on cherche deux nombres dont le produit est 10 et la somme est 7.
  2. Les nombres 2 et 5 conviennent car 2 × 5 = 10 et 2 + 5 = 7.
  3. Ainsi, on écrit :   z² + 7z + 10 = (z + 2)(z + 5).

────────────────────────────── e) Factoriser w² – 4w – 21

  1. Ici, il faut trouver deux nombres dont le produit est –21 et la somme est –4.
  2. Les nombres –7 et +3 fonctionnent car (–7) × 3 = –21 et (–7) + 3 = –4.
  3. On a donc :   w² – 4w – 21 = (w – 7)(w + 3).

────────────────────────────── f) Factoriser y⁴ – 16

  1. On reconnaît y⁴ comme (y²)² et 16 comme 4². On est en présence d’une différence de deux carrés.
  2. La formule de la différence de deux carrés est : A² – B² = (A – B)(A + B) avec A = y² et B = 4.
  3. On obtient :   y⁴ – 16 = (y² – 4)(y² + 4).
  4. De plus, y² – 4 est encore une différence de deux carrés, car y² = y² et 4 = 2² :   y² – 4 = (y – 2)(y + 2).
  5. La factorisation complète est :   (y – 2)(y + 2)(y² + 4).

────────────────────────────── g) Factoriser t² – 7t + 10

  1. Nous cherchons deux nombres dont le produit est 10 et la somme est –7.
  2. Les nombres –5 et –2 conviennent puisque (–5) × (–2) = 10 et (–5) + (–2) = –7.
  3. La factorisation devient :   t² – 7t + 10 = (t – 5)(t – 2).

────────────────────────────── h) Factoriser a² – b²

  1. Il s’agit d’une différence de deux carrés qui se factorise selon la formule :   A² – B² = (A – B)(A + B).
  2. En posant A = a et B = b, on obtient :   a² – b² = (a – b)(a + b).

────────────────────────────── i) Factoriser k⁴ – 6k²m + 9m²

  1. Pour faciliter la lecture, posons u = k². L’expression devient :   u² – 6m·u + 9m².
  2. On reconnaît que ce trinôme est un carré parfait puisque :   (u – 3m)² = u² – 2·u·3m + (3m)² = u² – 6mu + 9m².
  3. En remplaçant u par k², on a :   (k² – 3m)².
  4. La factorisation est donc :   k⁴ – 6k²m + 9m² = (k² – 3m)².

────────────────────────────── j) Factoriser 4dx – 3ex + 4df – 3fe

  1. On regroupe les termes par parties qui ont un facteur commun. Regroupons ainsi :   (4dx – 3ex) + (4df – 3fe).
  2. Dans le premier groupe, factorisons x :   4dx – 3ex = x(4d – 3e).
  3. Dans le deuxième groupe, factorisons f :   4df – 3fe = f(4d – 3e).
  4. On remarque que (4d – 3e) est un facteur commun :   x(4d – 3e) + f(4d – 3e) = (4d – 3e)(x + f).

────────────────────────────── Résumé des réponses :

a) (x – 4)²
b) (3p – 1)²
c) (3k + 4)²
d) (z + 2)(z + 5)
e) (w – 7)(w + 3)
f) (y – 2)(y + 2)(y² + 4)
g) (t – 5)(t – 2)
h) (a – b)(a + b)
i) (k² – 3m)²
j) (4d – 3e)(x + f)

Chaque étape a été expliquée pour faciliter la compréhension de la démarche de factorisation.

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