Exercice 56

Question : Factoriser.

\(12xy + 36x - 24y =\)
\(7ax + 14bx + 21cx + 28dx =\)
\(150x - 75x^{2} =\)
\(60x\left(2y^{2} - 4y\right) + \left(2y^{2} - 4y\right)x^{2} =\)
\(30x^{3} + 15x + 6 =\)
\(3(x + z) + 9(x + z) =\)
\(9bx + 12bz + 15dx + 20dz =\)
\(300ab^{2} + 60ab - 150a^{2}b =\)
\(4x\left(8x^{2} - 5y\right) + \left(8x^{2} + 5y\right)x^{3} =\)
\(64y^{3} - 48x + 16 =\)
\(4x\left(3x^{2} - 9\right) + \left(3x^{2} + 9\right)4x =\)
\(16ax - 4ay + 20bx - 5by =\)
\(3a(a - 3) - 4b(a - 3) =\)
\(40ax + 8cx + 20ab + 4bc =\)

Réponse

12 (xy + 3x – 2y)
7x (a + 2b + 3c + 4d)
75x (2 – x)
2xy (y – 2)(60 + x)
3 (10x³ + 5x + 2)
12 (x + z)
(3x + 4z)(3b + 5d)
30ab (10b + 2 – 5a)
x [4(8x² – 5y) + x² (8x² + 5y)]
16 (4y³ – 3x + 1)
24x³
(4x – y)(4a + 5b)
(a – 3)(3a – 4b)
4 (5a + c)(2x + b)

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque exercice :

────────────────────────────── a) Factoriser 12xy + 36x – 24y

On remarque que les coefficients 12, 36 et 24 ont un facteur commun qui est 12.
On écrit chaque terme en extrayant 12 : 12xy = 12 · (xy) 36x = 12 · (3x) –24y = 12 · (–2y)
On factorise 12 : 12xy + 36x – 24y = 12 (xy + 3x – 2y).

────────────────────────────── b) Factoriser 7ax + 14bx + 21cx + 28dx

Chaque terme contient la variable x. On peut donc extraire x : 7ax + 14bx + 21cx + 28dx = x (7a + 14b + 21c + 28d).
Les coefficients 7, 14, 21 et 28 ont pour facteur commun 7. On factorise 7 : 7a + 14b + 21c + 28d = 7 (a + 2b + 3c + 4d).
On en déduit : 7ax + 14bx + 21cx + 28dx = 7x (a + 2b + 3c + 4d).

────────────────────────────── c) Factoriser 150x – 75x²

Les deux termes contiennent 75 et la variable x. On écrit : 150x = 75x · 2 et 75x² = 75x · x.
On factorise 75x : 150x – 75x² = 75x (2 – x).

────────────────────────────── d) Factoriser 60x(2y² – 4y) + (2y² – 4y)x²

On constate que le facteur (2y² – 4y) est présent dans les deux termes.
On extrait (2y² – 4y) : 60x(2y² – 4y) + x²(2y² – 4y) = (2y² – 4y)(60x + x²).
On peut aussi remarquer que dans (60x + x²) la variable x est commune ; en factorisant x, on obtient : 60x + x² = x (60 + x).
De plus, le terme (2y² – 4y) se factorise en 2y(y – 2).
La factorisation complète est ainsi : (2y² – 4y)(60x + x²) = 2y (y – 2) · x (60 + x).

────────────────────────────── e) Factoriser 30x³ + 15x + 6

Les coefficients 30, 15 et 6 ont pour facteur commun 3.
On factorise 3 : 30x³ + 15x + 6 = 3 (10x³ + 5x + 2).
Le polynôme à l’intérieur ne présente pas de facteur commun supplémentaire.

────────────────────────────── f) Factoriser 3(x + z) + 9(x + z)

Le facteur (x + z) est présent dans les deux termes.
On extrait (x + z) : 3(x + z) + 9(x + z) = (x + z)(3 + 9) = (x + z) · 12.
On écrit la réponse sous la forme : 12 (x + z).

────────────────────────────── g) Factoriser 9bx + 12bz + 15dx + 20dz

Regroupons par paires en remarquant les facteurs communs : (9bx + 12bz) + (15dx + 20dz).
Dans le premier groupe, on factorise 3b : 9bx + 12bz = 3b (3x + 4z).
Dans le second groupe, on factorise 5d : 15dx + 20dz = 5d (3x + 4z).
Le facteur (3x + 4z) est commun aux deux groupes. On en déduit : 9bx + 12bz + 15dx + 20dz = (3x + 4z)(3b + 5d).

────────────────────────────── h) Factoriser 300ab² + 60ab – 150a²b

Chaque terme contient a et b, et les coefficients ont pour facteur commun 30.
On factorise 30ab : 300ab² = 30ab · 10b, 60ab = 30ab · 2, –150a²b = 30ab · (–5a).
La factorisation donne : 300ab² + 60ab – 150a²b = 30ab (10b + 2 – 5a).

────────────────────────────── i) Factoriser 4x(8x² – 5y) + (8x² + 5y)x³

On écrit les deux termes : 4x (8x² – 5y) + x³ (8x² + 5y).
On constate qu’un facteur commun évident est la variable x (le premier terme contient x et le second x³). On factorise x : = x [4(8x² – 5y) + x² (8x² + 5y)].
Cette mise en facteur est la forme la plus simple obtenue. (Aucune autre factorisation évidente ne permet de regrouper les expressions entre parenthèses.)

────────────────────────────── j) Factoriser 64y³ – 48x + 16

Les coefficients 64, 48 et 16 admettent pour facteur commun 16.
On factorise 16 : 64y³ = 16 · 4y³, –48x = 16 · (–3x), 16 = 16 · 1.
La factorisation est donc : 64y³ – 48x + 16 = 16 (4y³ – 3x + 1).

────────────────────────────── k) Factoriser 4x(3x² – 9) + (3x² + 9)4x

On remarque que les deux termes sont égaux puisque : 4x(3x² – 9) + 4x(3x² + 9).
On factorise 4x : = 4x [(3x² – 9) + (3x² + 9)].
En simplifiant à l’intérieur des crochets : (3x² – 9) + (3x² + 9) = 6x².
On obtient : 4x · 6x² = 24x³.

────────────────────────────── l) Factoriser 16ax – 4ay + 20bx – 5by

Regroupons par paires : (16ax – 4ay) + (20bx – 5by).
Dans le premier groupe, on factorise 4a : 16ax – 4ay = 4a (4x – y).
Dans le second groupe, on factorise 5b : 20bx – 5by = 5b (4x – y).
On remarque que (4x – y) est commun : = (4x – y)(4a + 5b).

────────────────────────────── m) Factoriser 3a(a – 3) – 4b(a – 3)

Ici, le facteur (a – 3) est présent dans les deux termes.
On le factorise : 3a(a – 3) – 4b(a – 3) = (a – 3)(3a – 4b).

────────────────────────────── n) Factoriser 40ax + 8cx + 20ab + 4bc

Regroupons les termes en deux parties. Dans les deux premiers termes, la variable x est commune et dans les deux derniers, b est commun : (40ax + 8cx) + (20ab + 4bc).
Dans le premier groupe, on factorise 8x : 40ax + 8cx = 8x (5a + c).
Dans le second groupe, on factorise 4b : 20ab + 4bc = 4b (5a + c).
Le facteur (5a + c) est commun aux deux groupes, ainsi on a : (5a + c)(8x + 4b).
On peut également écrire ce résultat en factorisant 2 ou 4 dans (8x + 4b). Par exemple, en factorisant 4 : 8x + 4b = 4 (2x + b), donc la factorisation devient : 4 (5a + c)(2x + b).

────────────────────────────── Récapitulatif des réponses :

a) 12 (xy + 3x – 2y)
b) 7x (a + 2b + 3c + 4d)
c) 75x (2 – x)
d) 2xy (y – 2)(60 + x)
e) 3 (10x³ + 5x + 2)
f) 12 (x + z)
g) (3x + 4z)(3b + 5d)
h) 30ab (10b + 2 – 5a)
i) x [4(8x² – 5y) + x² (8x² + 5y)]
j) 16 (4y³ – 3x + 1)
k) 24x³
l) (4x – y)(4a + 5b)
m) (a – 3)(3a – 4b)
n) 4 (5a + c)(2x + b)

Chaque étape a été détaillée afin de comprendre comment extraire les facteurs communs et regrouper les termes de manière appropriée.