Question :
Observe ces deux factorisations :
\(6(m + n) + 2(m + n)b = (m + n)(6 + 2b)\)
\(5cx + 2cy + 5dx + 2dy = 5x(c + d) + 2y(c + d) = (5x + 2y)(c + d)\)
Décris et explique les procédures appliquées pour passer de l’expression de gauche à celle de droite.
Factorise.
\(8(3q + r) + s(3q + r)\)
\(bx + by + cx + cy\)
\((2z + 5)3w + (2z + 5)4z\)
\(12uv + 9mv + 12uw + 9mw\)
\(-15(7y - 2) + (7y - 2)5y\)
\(4gh + 4ik - 4hk - 4gi\)
\(9p(6 - 3x) + 3q(6 - 3x)\)
\(14ky - 14kz - my + mz\)
Voici le résumé très court des factorisations :
Nous allons expliquer pas à pas les raisonnements utilisés pour passer d’une écriture développée à une écriture factorisée, puis nous factorisons les expressions demandées.
────────────────────────────── 1. Analyse des deux factorisations données
Expression : 6(m + n) + 2(m + n)b
• On remarque que le facteur (m + n) apparaît dans chacun des deux
termes.
• On factorise (m + n) en écrivant :
6(m + n) + 2(m + n)b = (m + n) × 6 + (m + n) × 2b
• En mettant (m + n) en facteur commun, l’expression devient :
(m + n)(6 + 2b)
Expression : 5cx + 2cy + 5dx + 2dy
• On observe deux paires de termes qui se prêtent à la
factorisation.
• Première étape : regrouper les termes qui contiennent 5 et ceux qui
contiennent 2.
5cx + 5dx = 5x(c + d) et 2cy + 2dy = 2y(c + d)
• La somme devient alors :
5x(c + d) + 2y(c + d)
• On remarque que (c + d) est un facteur commun, d’où on peut écrire
:
(5x + 2y)(c + d)
────────────────────────────── 2. Factorisations demandées
────────────────────────────── b) Factoriser bx + by + cx + cy
• Regroupons les termes par parties comportant les mêmes lettres
communes :
(bx + cx) + (by + cy)
• Dans bx + cx, on factorise x :
x(b + c)
• Dans by + cy, on factorise y :
y(b + c)
• L’expression devient alors :
x(b + c) + y(b + c)
• En mettant (b + c) en facteur commun, on obtient :
(b + c)(x + y)
────────────────────────────── c) Factoriser (2z + 5)3w + (2z +
5)4z
• On remarque que (2z + 5) apparaît dans les deux termes.
• On écrit donc :
(2z + 5)(3w + 4z)
────────────────────────────── d) Factoriser 12uv + 9mv + 12uw +
9mw
• Tout d’abord, regroupons les termes par groupes qui ont un facteur en
commun.
Groupe 1 : 12uv + 12uw
Groupe 2 : 9mv + 9mw
• Dans le Groupe 1, factorisons 12u :
12u(v + w)
• Dans le Groupe 2, factorisons 9m :
9m(v + w)
• On a alors :
12u(v + w) + 9m(v + w)
• On factorise maintenant (v + w) :
(v + w)(12u + 9m)
• (On peut remarquer que 12u + 9m admet un facteur commun 3, ce qui
donnerait 3(4u + 3m), mais cela n’est pas nécessaire ici.)
────────────────────────────── e) Factoriser –15(7y – 2) + (7y –
2)5y
• On constate que (7y – 2) est présent dans les deux termes.
• On factorise (7y – 2) en écrivant :
–15(7y – 2) + 5y(7y – 2) = (7y – 2)(–15 + 5y)
• Pour une écriture plus conventionnelle, on peut réordonner le second
facteur :
(7y – 2)(5y – 15)
• On peut également factoriser 5 dans (5y – 15) ce qui donnerait :
5y – 15 = 5(y – 3), ainsi l’expression devient
5(7y – 2)(y – 3)
────────────────────────────── f) Factoriser 4gh + 4ik – 4hk –
4gi
• Une première démarche consiste à regrouper intelligemment en
réarrangeant les termes.
On écrit par exemple : (4gh – 4gi) + (4ik – 4hk)
• Dans le premier groupe, factorisons 4g :
4g(h – i)
• Dans le second groupe, factorisons 4k :
4k(i – h)
• Remarquez que i – h = –(h – i). Ainsi, 4k(i – h) = –4k(h – i)
• L’expression devient alors :
4g(h – i) – 4k(h – i)
• En factorisant (h – i) on obtient :
4(h – i)(g – k)
────────────────────────────── g) Factoriser 9p(6 – 3x) + 3q(6 –
3x)
• Ici, (6 – 3x) est un facteur commun.
• On écrit donc :
9p(6 – 3x) + 3q(6 – 3x) = (6 – 3x)(9p + 3q)
• Optionnellement, on remarque que 9p + 3q a un facteur 3 que l’on peut
extraire :
9p + 3q = 3(3p + q), et ainsi l’expression s’écrit
3(6 – 3x)(3p + q)
────────────────────────────── h) Factoriser 14ky – 14kz – my +
mz
• On peut regrouper les termes par paires :
Groupe 1 : 14ky – 14kz
Groupe 2 : –my + mz
• Dans le Groupe 1, factorisons 14k :
14k(y – z)
• Dans le Groupe 2, factorisons –m :
–m(y – z)
• On obtient :
14k(y – z) – m(y – z)
• En mettant (y – z) en facteur commun :
(y – z)(14k – m)
────────────────────────────── Récapitulatif des réponses :
Chaque étape consiste à identifier un facteur commun dans les termes de l’expression (un nombre, une lettre ou une parenthèse entière), à regrouper les termes de manière appropriée, et ensuite à factoriser en mettant ce facteur commun en évidence. Cette méthode permet de simplifier l’expression et de la rendre sous forme factorisée.