Question : Factorisez, lorsque possible, les expressions suivantes.
a) \(6a + 12\)
b) \(3b^{2} - 9b\)
c) \(15x - 30x^{2}\)
d) \(8y^{3} + 24y^{2}\)
e) \(4m + 2n\)
f) \(10z^{2} - 20z + 10z^{3}\)
g) \(25p - 50q\)
h) \(7(k - 2) + 14(k - 2)\)
Résumé des réponses factorisées
\(6(a + 2)\)
\(3b(b - 3)\)
\(15x(1 - 2x)\)
\(8y^{2}(y + 3)\)
\(2(2m + n)\)
\(10z(z^{2} + z - 2)\)
\(25(p - 2q)\)
\(21(k - 2)\)
Nous allons factoriser chaque expression en identifiant le facteur commun à tous les termes. Cela consiste à déterminer le plus grand nombre ou la plus grande expression algébrique qui divise chaque terme de l’expression donnée. Voici les corrections détaillées pour chaque question.
Étape 1 : Identifier le facteur commun
Les coefficients des termes sont 6 et 12. Le plus grand commun diviseur (PGCD) de 6 et 12 est 6.
Étape 2 : Factoriser en mettant le PGCD en évidence
\[ 6a + 12 = 6(a) + 6(2) = 6(a + 2) \]
Réponse factorisée : \(6(a + 2)\)
Étape 1 : Identifier le facteur commun
Les coefficients sont 3 et 9, dont le PGCD est 3. De plus, chaque terme contient la variable \(b\).
Étape 2 : Factoriser en mettant le facteur commun \(3b\) en évidence
\[ 3b^{2} - 9b = 3b(b) - 3b(3) = 3b(b - 3) \]
Réponse factorisée : \(3b(b - 3)\)
Étape 1 : Identifier le facteur commun
Les coefficients sont 15 et 30, avec un PGCD de 15. Les puissances de \(x\) sont \(x^1\) et \(x^2\), donc le plus petit exposant est \(x^1\).
Étape 2 : Factoriser en mettant le facteur commun \(15x\) en évidence
\[ 15x - 30x^{2} = 15x(1) - 15x(2x) = 15x(1 - 2x) \]
Réponse factorisée : \(15x(1 - 2x)\)
Étape 1 : Identifier le facteur commun
Les coefficients sont 8 et 24, avec un PGCD de 8. Les puissances de \(y\) sont \(y^3\) et \(y^2\), donc le plus petit exposant est \(y^2\).
Étape 2 : Factoriser en mettant le facteur commun \(8y^{2}\) en évidence
\[ 8y^{3} + 24y^{2} = 8y^{2}(y) + 8y^{2}(3) = 8y^{2}(y + 3) \]
Réponse factorisée : \(8y^{2}(y + 3)\)
Étape 1 : Identifier le facteur commun
Les coefficients sont 4 et 2, avec un PGCD de 2. Cependant, les variables \(m\) et \(n\) sont différentes et ne peuvent être mises en commun.
Étape 2 : Factoriser en mettant le PGCD 2 en évidence
\[ 4m + 2n = 2(2m) + 2(n) = 2(2m + n) \]
Réponse factorisée : \(2(2m + n)\)
Étape 1 : Identifier le facteur commun
Les coefficients sont 10, 20 et 10, avec un PGCD de 10. Les puissances de \(z\) sont \(z^2\), \(z^1\) et \(z^3\), donc le plus petit exposant est \(z^1\).
Étape 2 : Factoriser en mettant le facteur commun \(10z\) en évidence
\[ 10z^{2} - 20z + 10z^{3} = 10z(z) - 10z(2) + 10z(z^{2}) = 10z(z - 2 + z^{2}) \]
Réponse factorisée : \(10z(z^{2} + z - 2)\)
Étape 1 : Identifier le facteur commun
Les coefficients sont 25 et 50, avec un PGCD de 25. Les variables \(p\) et \(q\) sont différentes et ne peuvent être mises en commun.
Étape 2 : Factoriser en mettant le PGCD 25 en évidence
\[ 25p - 50q = 25(p) - 25(2q) = 25(p - 2q) \]
Réponse factorisée : \(25(p - 2q)\)
Étape 1 : Identifier le facteur commun
Chaque terme contient l’expression \((k - 2)\). De plus, les coefficients sont 7 et 14, avec un PGCD de 7.
Étape 2 : Factoriser en mettant le facteur commun \(7(k - 2)\) en évidence
\[ 7(k - 2) + 14(k - 2) = 7(k - 2)(1) + 7(k - 2)(2) = 7(k - 2)(1 + 2) \]
\[ 7(k - 2)(3) = 21(k - 2) \]
Réponse factorisée : \(21(k - 2)\)
\(6(a + 2)\)
\(3b(b - 3)\)
\(15x(1 - 2x)\)
\(8y^{2}(y + 3)\)
\(2(2m + n)\)
\(10z(z^{2} + z - 2)\)
\(25(p - 2q)\)
\(21(k - 2)\)