Exercice 51

Question :

1. On pose \(C = 16y^{2} - 25\). Factorise \(C\).

2. Détermine les deux nombres relatifs dont le carré du double est égal à 25.

Réponse

1. \(16y^{2} - 25 = (4y - 5)(4y + 5)\)

2. Les deux nombres sont \(\frac{5}{2}\) et \(-\frac{5}{2}\).

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

a. Factorisation de \(C = 16y^{2} - 25\)

Nous devons factoriser l’expression \(C = 16y^{2} - 25\).

1. Reconnaître une différence de carrés :

   L’expression \(16y^{2} - 25\) est une différence entre deux carrés, car :

   \[ 16y^{2} = (4y)^{2} \quad \text{et} \quad 25 = 5^{2} \]

   Donc, on peut écrire :

   \[ 16y^{2} - 25 = (4y)^{2} - 5^{2} \]

2. Appliquer la formule de la différence de carrés :

   La formule générale est :

   \[ a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b) \]

   En appliquant cette formule à notre expression :

   \[ (4y)^{2} - 5^{2} = (4y - 5)(4y + 5) \]

3. Résultat de la factorisation :

   Ainsi, l’expression factorisée de \(C\) est :

   \[ C = (4y - 5)(4y + 5) \]

b. Détermination des deux nombres relatifs dont le carré du double est égal à 25

Nous cherchons deux nombres \(x\) tels que le carré de leur double soit égal à 25. Formellement, cela s’écrit :

\[ (2x)^{2} = 25 \]

1. Développer l’équation :

   \[ (2x)^{2} = 4x^{2} = 25 \]

2. Résoudre l’équation pour \(x\) :

   \[ 4x^{2} = 25 \quad \Rightarrow \quad x^{2} = \frac{25}{4} \]

   \[ x = \pm \sqrt{\frac{25}{4}} = \pm \frac{5}{2} \]

3. Conclusion :

   Les deux nombres relatifs recherchés sont :

   \[ x = \frac{5}{2} \quad \text{et} \quad x = -\frac{5}{2} \]