Exercice 50

Question : Résous les équations suivantes.

1. \((x - 2)(x + 5) = 0\)

2. \((4x + 7)(2 - x) = 0\)

3. \((9 - 5x)(4x + 6) = 0\)

4. \((6 - x)(x - 6) = 0\)

5. \(3x(2x - 3)(x + 4) = 0\)

Réponse

1. x = 2 et x = –5
   
2. x = –7/4 et x = 2
   
3. x = 9/5 et x = –3/2
   
4. x = 6
   
5. x = 0, x = 3/2 et x = –4

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice :

────────────────────────────── a. Résoudre (x – 2)(x + 5) = 0

1. On utilise la propriété du produit nul : si le produit de deux facteurs est égal à zéro, alors au moins l’un des facteurs est nul.
2. On pose d’abord x – 2 = 0. En ajoutant 2 des deux côtés, on obtient :   x = 2.
3. Ensuite, on pose x + 5 = 0. En soustrayant 5 des deux côtés, on trouve :   x = –5.
4. Ainsi, les solutions de l’équation sont x = 2 et x = –5.

────────────────────────────── b. Résoudre (4x + 7)(2 – x) = 0

1. Par la propriété du produit nul, on met chaque facteur égal à zéro.
2. Pour le premier facteur, posons 4x + 7 = 0. On soustrait 7 :   4x = –7, puis on divise par 4 :   x = –7/4.
3. Pour le second facteur, posons 2 – x = 0. En isolant x, on soustrait 2 de chaque côté :   –x = –2, donc en multipliant par –1 on trouve :   x = 2.
4. Les solutions sont donc x = –7/4 et x = 2.

────────────────────────────── c. Résoudre (9 – 5x)(4x + 6) = 0

1. Appliquons la propriété du produit nul.
2. Pour le facteur 9 – 5x, posons :   9 – 5x = 0  ⟹  –5x = –9.   En divisant par –5, on obtient :   x = 9/5.
3. Pour le facteur 4x + 6, posons :   4x + 6 = 0  ⟹  4x = –6.   En divisant par 4, on trouve :   x = –6/4, ce qui se simplifie en x = –3/2.
4. Les solutions de l’équation sont x = 9/5 et x = –3/2.

────────────────────────────── d. Résoudre (6 – x)(x – 6) = 0

1. Remarquons que (6 – x) et (x – 6) sont opposés, puisque 6 – x = –(x – 6).
2. Leur produit devient donc :   (6 – x)(x – 6) = –(x – 6)².
3. Pour que –(x – 6)² = 0, il faut que (x – 6)² = 0.
4. Une quantité au carré est égale à zéro uniquement si elle est nulle. Ainsi, on a :   x – 6 = 0 ⟹ x = 6.
5. La solution unique est donc x = 6.

────────────────────────────── e. Résoudre 3x(2x – 3)(x + 4) = 0

1. On utilise la propriété du produit nul sur le produit de trois facteurs.
2. Pour le premier facteur, 3x = 0 :   On divise par 3 : x = 0.
3. Pour le deuxième facteur, 2x – 3 = 0 :   On ajoute 3 : 2x = 3, puis on divise par 2 :   x = 3/2.
4. Pour le troisième facteur, x + 4 = 0 :   On soustrait 4 : x = –4.
5. Ainsi, les solutions sont x = 0, x = 3/2 et x = –4.

────────────────────────────── Résumé des solutions :

1. x = 2 et x = –5
   
2. x = –7/4 et x = 2
   
3. x = 9/5 et x = –3/2
   
4. x = 6
   
5. x = 0, x = 3/2, et x = –4

Chaque équation a été résolue en utilisant la propriété du produit nul et en isolant la variable à partir de chaque facteur.