Exercice 49

Question : Factorise puis réduis les expressions suivantes :

\[ F = (x + 2)^2 + (x + 2)(3x - 1) \]

\[ G = (3x - 1)(x + 4) - (x + 4)^2 \]

Réponse

Les expressions factorisées sont :

\[ F = (x + 2)(4x + 1) \]

et

\[ G = (x + 4)(2x - 5) \]

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

Nous allons factoriser puis réduire les expressions \(F\) et \(G\) données.


1. Factorisation et réduction de \(F\)

L’expression à factoriser est :

\[ F = (x + 2)^2 + (x + 2)(3x - 1) \]

Étape 1 : Identifier le facteur commun

On remarque que le terme \((x + 2)\) est présent dans les deux parties de l’expression.

Étape 2 : Factoriser le terme commun

Factorisons \((x + 2)\) :

\[ F = (x + 2) \left[ (x + 2) + (3x - 1) \right] \]

Étape 3 : Simplifier l’expression à l’intérieur des crochets

Calculons l’expression entre les crochets :

\[ (x + 2) + (3x - 1) = x + 2 + 3x - 1 = 4x + 1 \]

Étape 4 : Écrire la forme factorisée finale

En remplaçant l’expression simplifiée, on obtient :

\[ F = (x + 2)(4x + 1) \]


2. Factorisation et réduction de \(G\)

L’expression à factoriser est :

\[ G = (3x - 1)(x + 4) - (x + 4)^2 \]

Étape 1 : Identifier le facteur commun

On observe que le terme \((x + 4)\) est commun aux deux parties de l’expression.

Étape 2 : Factoriser le terme commun

Factorisons \((x + 4)\) :

\[ G = (x + 4) \left[ (3x - 1) - (x + 4) \right] \]

Étape 3 : Simplifier l’expression à l’intérieur des crochets

Calculons l’expression entre les crochets :

\[ (3x - 1) - (x + 4) = 3x - 1 - x - 4 = 2x - 5 \]

Étape 4 : Écrire la forme factorisée finale

En remplaçant l’expression simplifiée, on obtient :

\[ G = (x + 4)(2x - 5) \]


Ainsi, les expressions factorisées et réduites sont :

\[ F = (x + 2)(4x + 1) \]

et

\[ G = (x + 4)(2x - 5) \]

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