Question : Factorise puis réduis les expressions suivantes :
\[ F = (x + 2)^2 + (x + 2)(3x - 1) \]
\[ G = (3x - 1)(x + 4) - (x + 4)^2 \]
Les expressions factorisées sont :
\[ F = (x + 2)(4x + 1) \]
et
\[ G = (x + 4)(2x - 5) \]
Nous allons factoriser puis réduire les expressions \(F\) et \(G\) données.
L’expression à factoriser est :
\[ F = (x + 2)^2 + (x + 2)(3x - 1) \]
On remarque que le terme \((x + 2)\) est présent dans les deux parties de l’expression.
Factorisons \((x + 2)\) :
\[ F = (x + 2) \left[ (x + 2) + (3x - 1) \right] \]
Calculons l’expression entre les crochets :
\[ (x + 2) + (3x - 1) = x + 2 + 3x - 1 = 4x + 1 \]
En remplaçant l’expression simplifiée, on obtient :
\[ F = (x + 2)(4x + 1) \]
L’expression à factoriser est :
\[ G = (3x - 1)(x + 4) - (x + 4)^2 \]
On observe que le terme \((x + 4)\) est commun aux deux parties de l’expression.
Factorisons \((x + 4)\) :
\[ G = (x + 4) \left[ (3x - 1) - (x + 4) \right] \]
Calculons l’expression entre les crochets :
\[ (3x - 1) - (x + 4) = 3x - 1 - x - 4 = 2x - 5 \]
En remplaçant l’expression simplifiée, on obtient :
\[ G = (x + 4)(2x - 5) \]
Ainsi, les expressions factorisées et réduites sont :
\[ F = (x + 2)(4x + 1) \]
et
\[ G = (x + 4)(2x - 5) \]