Exercice 48

Question : Soit \(\mathrm{E} = (x + 3)(5x + 2) - (x + 3)(x - 4)\).

  1. Factorise et vérifie que \(\mathrm{E} = (x + 3)(4x + 6)\).

  2. En factorisant \(4x + 6\), donne une nouvelle factorisation de \(\mathrm{E}\).

Réponse

Réponse succincte :

a.
L’expression factorisée est : \[ \mathrm{E} = (x + 3)(4x + 6) \] La vérification par développement confirme que \(\mathrm{E} = 4x² + 18x + 18\).

b.
En factorisant \(4x + 6\) par 2, on obtient : \[ \mathrm{E} = 2(x + 3)(2x + 3) \]

Corrigé détaillé

Correction :

Question a. Factorise et vérifie que \(\mathrm{E} = (x + 3)(4x + 6)\).

  1. Factorisation de l’expression \(\mathrm{E}\) :

    L’expression donnée est : \[ \mathrm{E} = (x + 3)(5x + 2) - (x + 3)(x - 4) \]

    On observe que le facteur commun aux deux termes est \((x + 3)\). On peut donc le mettre en évidence : \[ \mathrm{E} = (x + 3)\left[(5x + 2) - (x - 4)\right] \]

  2. Simplification à l’intérieur des parenthèses :

    Simplifions l’expression à l’intérieur des crochets : \[ (5x + 2) - (x - 4) = 5x + 2 - x + 4 = (5x - x) + (2 + 4) = 4x + 6 \]

    Ainsi, l’expression factorisée devient : \[ \mathrm{E} = (x + 3)(4x + 6) \]

  3. Vérification de la factorisation :

    Pour vérifier que la factorisation est correcte, développons \((x + 3)(4x + 6)\) : \[ (x + 3)(4x + 6) = x \cdot 4x + x \cdot 6 + 3 \cdot 4x + 3 \cdot 6 = 4x^2 + 6x + 12x + 18 = 4x^2 + 18x + 18 \]

    Maintenant, développons l’expression initiale \(\mathrm{E}\) : \[ \mathrm{E} = (x + 3)(5x + 2) - (x + 3)(x - 4) \]

    Calculons chaque produit séparément : \[\begin{align*} (x + 3)(5x + 2) &= 5x^2 + 2x + 15x + 6 = 5x^2 + 17x + 6 \\ (x + 3)(x - 4) &= x^2 - 4x + 3x - 12 = x^2 - x - 12 \end{align*}\]

    Soustrayons le deuxième produit du premier : \[ \mathrm{E} = (5x^2 + 17x + 6) - (x^2 - x - 12) = 5x^2 + 17x + 6 - x^2 + x + 12 = 4x^2 + 18x + 18 \]

    Les deux développements donnent : \[ \mathrm{E} = 4x^2 + 18x + 18 \]

    Ainsi, la factorisation \(\mathrm{E} = (x + 3)(4x + 6)\) est vérifiée.


Question b. En factorisant \(4x + 6\), donne une nouvelle factorisation de \(\mathrm{E}\).

  1. Factorisation de \(4x + 6\) :

    On peut mettre \(2\) en facteur commun : \[ 4x + 6 = 2(2x + 3) \]

  2. Nouvelle factorisation de \(\mathrm{E}\) :

    Reprenons la factorisation obtenue à la question a : \[ \mathrm{E} = (x + 3)(4x + 6) \]

    En remplaçant \(4x + 6\) par sa factorisation, on obtient : \[ \mathrm{E} = (x + 3) \cdot 2(2x + 3) = 2(x + 3)(2x + 3) \]

    Ainsi, la nouvelle factorisation de \(\mathrm{E}\) est : \[ \mathrm{E} = 2(x + 3)(2x + 3) \]

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