Question : Soit \(\mathrm{E} = (x + 3)(5x + 2) - (x + 3)(x - 4)\).
Factorise et vérifie que \(\mathrm{E} = (x + 3)(4x + 6)\).
En factorisant \(4x + 6\), donne une nouvelle factorisation de \(\mathrm{E}\).
Réponse succincte :
a.
L’expression factorisée est : \[
\mathrm{E} = (x + 3)(4x + 6)
\] La vérification par développement confirme que \(\mathrm{E} = 4x² + 18x + 18\).
b.
En factorisant \(4x + 6\) par 2, on
obtient : \[
\mathrm{E} = 2(x + 3)(2x + 3)
\]
Correction :
Question a. Factorise et vérifie que \(\mathrm{E} = (x + 3)(4x + 6)\).
Factorisation de l’expression \(\mathrm{E}\) :
L’expression donnée est : \[ \mathrm{E} = (x + 3)(5x + 2) - (x + 3)(x - 4) \]
On observe que le facteur commun aux deux termes est \((x + 3)\). On peut donc le mettre en évidence : \[ \mathrm{E} = (x + 3)\left[(5x + 2) - (x - 4)\right] \]
Simplification à l’intérieur des parenthèses :
Simplifions l’expression à l’intérieur des crochets : \[ (5x + 2) - (x - 4) = 5x + 2 - x + 4 = (5x - x) + (2 + 4) = 4x + 6 \]
Ainsi, l’expression factorisée devient : \[ \mathrm{E} = (x + 3)(4x + 6) \]
Vérification de la factorisation :
Pour vérifier que la factorisation est correcte, développons \((x + 3)(4x + 6)\) : \[ (x + 3)(4x + 6) = x \cdot 4x + x \cdot 6 + 3 \cdot 4x + 3 \cdot 6 = 4x^2 + 6x + 12x + 18 = 4x^2 + 18x + 18 \]
Maintenant, développons l’expression initiale \(\mathrm{E}\) : \[ \mathrm{E} = (x + 3)(5x + 2) - (x + 3)(x - 4) \]
Calculons chaque produit séparément : \[\begin{align*} (x + 3)(5x + 2) &= 5x^2 + 2x + 15x + 6 = 5x^2 + 17x + 6 \\ (x + 3)(x - 4) &= x^2 - 4x + 3x - 12 = x^2 - x - 12 \end{align*}\]
Soustrayons le deuxième produit du premier : \[ \mathrm{E} = (5x^2 + 17x + 6) - (x^2 - x - 12) = 5x^2 + 17x + 6 - x^2 + x + 12 = 4x^2 + 18x + 18 \]
Les deux développements donnent : \[ \mathrm{E} = 4x^2 + 18x + 18 \]
Ainsi, la factorisation \(\mathrm{E} = (x + 3)(4x + 6)\) est vérifiée.
Question b. En factorisant \(4x + 6\), donne une nouvelle factorisation de \(\mathrm{E}\).
Factorisation de \(4x + 6\) :
On peut mettre \(2\) en facteur commun : \[ 4x + 6 = 2(2x + 3) \]
Nouvelle factorisation de \(\mathrm{E}\) :
Reprenons la factorisation obtenue à la question a : \[ \mathrm{E} = (x + 3)(4x + 6) \]
En remplaçant \(4x + 6\) par sa factorisation, on obtient : \[ \mathrm{E} = (x + 3) \cdot 2(2x + 3) = 2(x + 3)(2x + 3) \]
Ainsi, la nouvelle factorisation de \(\mathrm{E}\) est : \[ \mathrm{E} = 2(x + 3)(2x + 3) \]