Question :
\[ C = (x - 3)(4x + 5) + (x - 3)(-x + 2) \]
\[ D = (2x + 1)(x - 4) - (2x + 1)(3x + 6) \]
Réponse courte :
Nous avons l’expression suivante pour \(C\) :
\[ C = (x - 3)(4x + 5) + (x - 3)(-x + 2) \]
Étape 1 : Identifier le facteur commun
Les deux termes de l’expression contiennent le facteur commun \((x - 3)\). Nous pouvons donc les regrouper en mettant ce facteur en évidence.
\[ C = (x - 3)\left[ (4x + 5) + (-x + 2) \right] \]
Étape 2 : Simplifier l’expression à l’intérieur des crochets
Additionnons les deux expressions à l’intérieur des crochets :
\[ (4x + 5) + (-x + 2) = 4x + 5 - x + 2 = (4x - x) + (5 + 2) = 3x + 7 \]
Étape 3 : Réécrire l’expression factorisée
En remplaçant l’expression simplifiée à l’intérieur des crochets, nous obtenons :
\[ C = (x - 3)(3x + 7) \]
Étape 4 : Vérification
Pour s’assurer que la factorisation est correcte, développons l’expression obtenue :
\[ (x - 3)(3x + 7) = x \cdot 3x + x \cdot 7 - 3 \cdot 3x - 3 \cdot 7 = 3x^2 + 7x - 9x - 21 = 3x^2 - 2x - 21 \]
Comparons avec l’expression développée initiale :
\[ C = (x - 3)(4x + 5) + (x - 3)(-x + 2) = (4x^2 + 5x - 12x - 15) + (-x^2 + 2x + 3x - 6) = 4x^2 - 7x - 15 - x^2 + 5x - 6 = 3x^2 - 2x - 21 \]
Les deux expressions sont identiques, confirmant que la factorisation est correcte.
Nous avons l’expression suivante pour \(D\) :
\[ D = (2x + 1)(x - 4) - (2x + 1)(3x + 6) \]
Étape 1 : Identifier le facteur commun
Les deux termes de l’expression contiennent le facteur commun \((2x + 1)\). Nous pouvons les regrouper en mettant ce facteur en évidence.
\[ D = (2x + 1)\left[ (x - 4) - (3x + 6) \right] \]
Étape 2 : Simplifier l’expression à l’intérieur des crochets
Effectuons la soustraction à l’intérieur des crochets :
\[ (x - 4) - (3x + 6) = x - 4 - 3x - 6 = (x - 3x) + (-4 - 6) = -2x - 10 \]
Étape 3 : Réécrire l’expression factorisée
En remplaçant l’expression simplifiée à l’intérieur des crochets, nous obtenons :
\[ D = (2x + 1)(-2x - 10) \]
Étape 4 : Simplifier davantage l’expression
Nous pouvons factoriser un \(-2\) dans la seconde parenthèse pour simplifier davantage :
\[ D = (2x + 1)(-2)(x + 5) = -2(2x + 1)(x + 5) \]
Étape 5 : Vérification
Pour s’assurer que la factorisation est correcte, développons l’expression obtenue :
\[ -2(2x + 1)(x + 5) = -2[2x \cdot x + 2x \cdot 5 + 1 \cdot x + 1 \cdot 5] = -2(2x^2 + 10x + x + 5) = -2(2x^2 + 11x + 5) = -4x^2 - 22x - 10 \]
Comparons avec l’expression développée initiale :
\[ D = (2x + 1)(x - 4) - (2x + 1)(3x + 6) = (2x^2 - 8x + x - 4) - (6x^2 + 12x + 3x + 6) = 2x^2 - 7x - 4 - 6x^2 - 15x - 6 = -4x^2 - 22x - 10 \]
Les deux expressions sont identiques, confirmant que la factorisation est correcte.