Exercice 46

Question : Factorise les expressions suivantes en mettant en évidence un facteur commun. Entoure ce facteur en rouge.

1. \(8a + 20 =\)

2. \(y^{2} + 6y =\)

3. \((y + 2)^{2} - 3(y + 2) =\)

4. \((s - 5)(3s + 2) + (3s + 2)^{2} =\)

Réponse

Voici le résumé des factorisations :

1. \(4(2a + 5)\)

2. \(y(y + 6)\)

3. \((y + 2)(y - 1)\)

4. \((3s + 2)(4s - 3)\)

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice de factorisation

Nous allons factoriser chaque expression en mettant en évidence un facteur commun. Pour ce faire, nous identifions le plus grand facteur qui divise tous les termes de l’expression et le mettons en facteur.

a. \(8a + 20\)

1. Identifier le facteur commun :

   • Les termes sont \(8a\) et \(20\).
   • Le plus grand facteur commun (PGCD) de 8 et 20 est 4.

2. Mettre le facteur commun en facteur :

   \[ 8a + 20 = 4 \times 2a + 4 \times 5 = 4(2a + 5) \]

3. Résultat avec le facteur commun entouré en rouge :

   \[ \color{red}{4} (2a + 5) \]

b. \(y^{2} + 6y\)

1. Identifier le facteur commun :

   • Les termes sont \(y^{2}\) et \(6y\).
   • Chaque terme contient \(y\) comme facteur commun.
   • Le plus grand facteur commun est donc \(y\).

2. Mettre le facteur commun en facteur :

   \[ y^{2} + 6y = y \times y + y \times 6 = y(y + 6) \]

3. Résultat avec le facteur commun entouré en rouge :

   \[ \color{red}{y} (y + 6) \]

c. \((y + 2)^{2} - 3(y + 2)\)

1. Identifier le facteur commun :

   • Les termes sont \((y + 2)^{2}\) et \(-3(y + 2)\).
   • Chaque terme contient \((y + 2)\) comme facteur commun.

2. Mettre le facteur commun en facteur :

   \[ (y + 2)^{2} - 3(y + 2) = (y + 2) \times (y + 2) - 3 \times (y + 2) = (y + 2)\left( (y + 2) - 3 \right) \]

3. Simplifier l’expression à l’intérieur des parenthèses :

   \[ (y + 2) - 3 = y - 1 \]

4. Résultat final avec le facteur commun entouré en rouge :

   \[ \color{red}{(y + 2)} (y - 1) \]

d. \((s - 5)(3s + 2) + (3s + 2)^{2}\)

1. Identifier le facteur commun :

   • Les termes sont \((s - 5)(3s + 2)\) et \((3s + 2)^{2}\).
   • Chaque terme contient \((3s + 2)\) comme facteur commun.

2. Mettre le facteur commun en facteur :

   \[ (s - 5)(3s + 2) + (3s + 2)^{2} = (3s + 2) \times (s - 5) + (3s + 2) \times (3s + 2) = (3s + 2)\left( (s - 5) + (3s + 2) \right) \]

3. Simplifier l’expression à l’intérieur des parenthèses :

   \[ (s - 5) + (3s + 2) = 4s - 3 \]

4. Résultat final avec le facteur commun entouré en rouge :

   \[ \color{red}{(3s + 2)} (4s - 3) \]

Résumé des résultats

1. \(\color{red}{4} (2a + 5)\)

2. \(\color{red}{y} (y + 6)\)

3. \(\color{red}{(y + 2)} (y - 1)\)

4. \(\color{red}{(3s + 2)} (4s - 3)\)