Exercice 44

Question : Factorisez chacune des expressions suivantes :

  1. \(M = x^{2} + 5x\)
  2. \(N = 4y^{2} - 12y + 8\)
  3. \(O = 3w^{2} + 6w\)
  4. \(P = 10c - 30c^{2}\)

Réponse

Les factorisations sont : 1. \(M = x(x + 5)\) 2. \(N = 4(y - 1)(y - 2)\) 3. \(O = 3w(w + 2)\) 4. \(P = 10c(1 - 3c)\)

Chaque expression a été factorisée en extrayant le facteur commun.

Corrigé détaillé

Correction détaillée :


1. Factorisons \(M = x^{2} + 5x\)

Étape 1 : Identifier le facteur commun

Les deux termes de l’expression contiennent la variable \(x\).

Le facteur commun est donc \(x\).

Étape 2 : Factoriser le facteur commun

On sort le facteur commun \(x\) en parenthèses :

\[ M = x^{2} + 5x = x(x + 5) \]

Résultat :

\[ M = x(x + 5) \]


2. Factorisons \(N = 4y^{2} - 12y + 8\)

Étape 1 : Rechercher un facteur commun

Les coefficients des termes sont 4, -12 et 8. Leur plus grand commun diviseur est 4.

On peut factoriser 4 de chaque terme :

\[ N = 4y^{2} - 12y + 8 = 4(y^{2} - 3y + 2) \]

Étape 2 : Factoriser le trinôme \(y^{2} - 3y + 2\)

Nous cherchons deux nombres dont le produit est \(2\) et la somme est \(-3\).

Ces nombres sont \(-1\) et \(-2\).

Ainsi :

\[ y^{2} - 3y + 2 = (y - 1)(y - 2) \]

Étape 3 : Remettre tout ensemble

\[ N = 4(y - 1)(y - 2) \]

Résultat :

\[ N = 4(y - 1)(y - 2) \]


3. Factorisons \(O = 3w^{2} + 6w\)

Étape 1 : Identifier le facteur commun

Les deux termes contiennent le facteur \(3w\).

Étape 2 : Factoriser le facteur commun

On sort \(3w\) en parenthèses :

\[ O = 3w^{2} + 6w = 3w(w + 2) \]

Résultat :

\[ O = 3w(w + 2) \]


4. Factorisons \(P = 10c - 30c^{2}\)

Étape 1 : Identifier le facteur commun

Les deux termes contiennent le facteur \(10c\).

Étape 2 : Factoriser le facteur commun

On sort \(10c\) en parenthèses :

\[ P = 10c - 30c^{2} = 10c(1 - 3c) \]

Résultat :

\[ P = 10c(1 - 3c) \]


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