Exercice 39

Factoriser aussi complètement que possible :

  1. \(4 a^{2} + 8 a b + 4 b^{2}\)
  2. \(16 a^{2} - 8 a b + b^{2}\)
  3. \(\frac{1}{4} a^{2} + a c + c^{2}\)
  4. \(5 x^{2} + 10 x y + 5 y^{2}\)
  5. \(4 a^{2} - 16 a b^{3} + 16 b^{6}\)
  6. \(49 a^{2} + 42 a b + 9 b^{2}\)

Réponse

Réponses factorisées :

Corrigé détaillé

Correction des exercices de factorisation

Exercice 1

Factoriser aussi complètement que possible :

\[4 a^{2} + 8 a b + 4 b^{2}\]

Solution :

  1. Identifier le facteur commun :

    Les coefficients des termes sont 4, 8 et 4. Le plus grand commun diviseur (PGCD) de ces nombres est 4.

  2. Factoriser le PGCD :

    \[ 4 a^{2} + 8 a b + 4 b^{2} = 4(a^{2} + 2a b + b^{2}) \]

  3. Reconnaître un carré parfait :

    L’expression \(a^{2} + 2a b + b^{2}\) est un carré parfait car elle correspond à \((a + b)^{2}\).

  4. Écrire la factorisation complète :

    \[ 4(a^{2} + 2a b + b^{2}) = 4(a + b)^{2} \]

Réponse factorisée :

\[ 4(a + b)^{2} \]


Exercice 2

Factoriser aussi complètement que possible :

\[16 a^{2} - 8 a b + b^{2}\]

Solution :

  1. Examiner la forme du trinôme :

    \[ 16a^{2} - 8ab + b^{2} \]

    Cela ressemble à \((4a)^{2} - 2 \times 4a \times b + b^{2}\).

  2. Reconnaître un carré parfait :

    \[ (4a)^{2} - 2 \times 4a \times b + b^{2} = (4a - b)^{2} \]

Réponse factorisée :

\[ (4a - b)^{2} \]


Exercice 3

Factoriser aussi complètement que possible :

\[\frac{1}{4} a^{2} + a c + c^{2}\]

Solution :

  1. Écrire avec des coefficients entiers :

    Multiplions par 4 pour simplifier les calculs :

    \[ \frac{1}{4}a^{2} + a c + c^{2} = \frac{1}{4}(a^{2} + 4a c + 4c^{2}) \]

  2. Reconnaître un carré parfait dans le parenthèse :

    \[ a^{2} + 4a c + 4c^{2} = (a + 2c)^{2} \]

  3. Remettre le facteur commun :

    \[ \frac{1}{4}(a + 2c)^{2} \]

Réponse factorisée :

\[ \frac{1}{4}(a + 2c)^{2} \]


Exercice 4

Factoriser aussi complètement que possible :

\[5 x^{2} + 10 x y + 5 y^{2}\]

Solution :

  1. Identifier le facteur commun :

    Les coefficients sont 5, 10 et 5. Le PGCD est 5.

  2. Factoriser le PGCD :

    \[ 5x^{2} + 10xy + 5y^{2} = 5(x^{2} + 2xy + y^{2}) \]

  3. Reconnaître un carré parfait :

    \[ x^{2} + 2xy + y^{2} = (x + y)^{2} \]

  4. Écrire la factorisation complète :

    \[ 5(x + y)^{2} \]

Réponse factorisée :

\[ 5(x + y)^{2} \]


Exercice 5

Factoriser aussi complètement que possible :

\[4 a^{2} - 16 a b^{3} + 16 b^{6}\]

Solution :

  1. Identifier le facteur commun :

    Les coefficients sont 4, 16 et 16. Le PGCD est 4.

  2. Factoriser le PGCD :

    \[ 4a^{2} - 16ab^{3} + 16b^{6} = 4(a^{2} - 4ab^{3} + 4b^{6}) \]

  3. Analyser le trinôme :

    L’expression \(a^{2} - 4ab^{3} + 4b^{6}\) ressemble à un carré parfait ou à un trinôme du second degré.

  4. Reconnaître un carré parfait :

    \[ a^{2} - 4ab^{3} + 4b^{6} = (a - 2b^{3})^{2} \]

  5. Écrire la factorisation complète :

    \[ 4(a - 2b^{3})^{2} \]

Réponse factorisée :

\[ 4(a - 2b^{3})^{2} \]


Exercice 6

Factoriser aussi complètement que possible :

\[49 a^{2} + 42 a b + 9 b^{2}\]

Solution :

  1. Examiner la forme du trinôme :

    \[ 49a^{2} + 42ab + 9b^{2} \]

    Cela ressemble à \((7a)^{2} + 2 \times 7a \times 3b + (3b)^{2}\).

  2. Reconnaître un carré parfait :

    \[ (7a)^{2} + 2 \times 7a \times 3b + (3b)^{2} = (7a + 3b)^{2} \]

Réponse factorisée :

\[ (7a + 3b)^{2} \]

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