Factoriser à l’aide des produits remarquables :
Résumé des factorisations :
Nous allons factoriser chacun des polynômes du second degré en utilisant les méthodes appropriées. Suivez les étapes ci-dessous pour comprendre chaque processus de factorisation.
Étape 1 : Identifier les coefficients
Le trinôme est de la forme \(ax^{2} + bx + c\), où : - \(a = 1\) - \(b = 7\) - \(c = 12\)
Étape 2 : Trouver deux nombres dont le produit est \(a \times c = 12\) et la somme est \(b = 7\)
Nous cherchons deux nombres \(m\) et \(n\) tels que : - \(m \times n = 12\) - \(m + n = 7\)
En examinant les facteurs de 12 : - \(3 \times 4 = 12\) et \(3 + 4 = 7\)
Donc, \(m = 3\) et \(n = 4\).
Étape 3 : Écrire la factorisation
Le trinôme peut être écrit comme : \[ x^{2} + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4) \]
Étape 1 : Identifier les coefficients
Étape 2 : Trouver deux nombres dont le produit est \(a \times c = -5\) et la somme est \(b = -4\)
Nous cherchons \(m\) et \(n\) tels que : - \(m \times n = -5\) - \(m + n = -4\)
Les paires de facteurs possibles de -5 sont : - \(1 \times (-5) = -5\) et \(1 + (-5) = -4\)
Donc, \(m = 1\) et \(n = -5\).
Étape 3 : Écrire la factorisation
\[ x^{2} - 4x - 5 = (x + 1)(x - 5) \]
Étape 1 : Identifier les coefficients
Étape 2 : Trouver deux nombres dont le produit est \(a \times c = 14\) et la somme est \(b = -9\)
Nous cherchons \(m\) et \(n\) tels que : - \(m \times n = 14\) - \(m + n = -9\)
Les paires de facteurs de 14 sont : - \((-2) \times (-7) = 14\) et \(-2 + (-7) = -9\)
Donc, \(m = -2\) et \(n = -7\).
Étape 3 : Écrire la factorisation
\[ x^{2} - 9x + 14 = (x - 2)(x - 7) \]
Étape 1 : Identifier les coefficients
Étape 2 : Trouver deux nombres dont le produit est \(a \times c = -21\) et la somme est \(b = -4\)
Nous cherchons \(m\) et \(n\) tels que : - \(m \times n = -21\) - \(m + n = -4\)
Les paires de facteurs de -21 sont : - \(3 \times (-7) = -21\) et \(3 + (-7) = -4\)
Donc, \(m = 3\) et \(n = -7\).
Étape 3 : Écrire la factorisation
\[ x^{2} - 4x - 21 = (x + 3)(x - 7) \]
Étape 1 : Identifier les coefficients
Étape 2 : Trouver deux nombres dont le produit est \(a \times c = -21\) et la somme est \(b = -20\)
Nous cherchons \(m\) et \(n\) tels que : - \(m \times n = -21\) - \(m + n = -20\)
Les paires de facteurs de -21 sont : - \(1 \times (-21) = -21\) et \(1 + (-21) = -20\)
Donc, \(m = 1\) et \(n = -21\).
Étape 3 : Écrire la factorisation
\[ x^{2} - 20x - 21 = (x + 1)(x - 21) \]
Étape 1 : Identifier les coefficients
Étape 2 : Trouver deux nombres dont le produit est \(a \times c = -24\) et la somme est \(b = -10\)
Nous cherchons \(m\) et \(n\) tels que : - \(m \times n = -24\) - \(m + n = -10\)
Les paires de facteurs de -24 sont : - \(2 \times (-12) = -24\) et \(2 + (-12) = -10\)
Donc, \(m = 2\) et \(n = -12\).
Étape 3 : Écrire la factorisation
\[ x^{2} - 10x - 24 = (x + 2)(x - 12) \]
Ces factorisations permettent de simplifier les équations et de résoudre plus facilement des problèmes mathématiques ultérieurs.