Utilisez la mise en évidence pour factoriser aussi complètement que possible :
\(x^{7} y^{8} - x^{5} y^{7} + x^{11} y^{4} - x^{6} y^{12}\)
\(0,25 a^{4} b^{3} + \frac{1}{4} a^{5} b^{6} - b^{7}\)
\(x^{4} - 10 x^{4} y + 15 x^{3} y^{2}\)
\(15 a^{3} b - 6 a^{2} b^{2} + 3 a^{7} b^{2}\)
\(\frac{1}{3} a b^{3} - \frac{1}{9} a^{3} b\)
\(36 a^{5} b - 48 a^{4} b^{2} + 12 a^{3} b^{3}\)
\(x^{7} y^{8} - x^{5} y^{7} + x^{11} y^{4} - x^{6} y^{12} = x^{5} y^{4} (x^{2} y^{4} - y^{3} + x^{6} - x y^{8})\)
\(0,25 a^{4} b^{3} + \frac{1}{4} a^{5} b^{6} - b^{7} = b^{3} \left( \frac{1}{4} a^{4} + \frac{1}{4} a^{5} b^{3} - b^{4} \right)\)
\(x^{4} - 10 x^{4} y + 15 x^{3} y^{2} = x^{3} (x - 10 x y + 15 y^{2})\)
\(15 a^{3} b - 6 a^{2} b^{2} + 3 a^{7} b^{2} = 3 a^{2} b (5 a - 2 b + a^{5} b)\)
\(\frac{1}{3} a b^{3} - \frac{1}{9} a^{3} b = \frac{1}{3} a b \left(b^{2} - \frac{a^{2}}{3}\right)\)
\(36 a^{5} b - 48 a^{4} b^{2} + 12 a^{3} b^{3} = 12 a^{3} b (3 a - b)(a - b)\)
Étape 1 : Identifier le facteur commun
Recherchons les plus petits exposants de chaque variable dans tous les termes : - Pour \(x\) : les exposants sont 7, 5, 11, et 6. Le plus petit est 5. - Pour \(y\) : les exposants sont 8, 7, 4, et 12. Le plus petit est 4.
Donc, le facteur commun est \(x^{5} y^{4}\).
Étape 2 : Factoriser le facteur commun
\[x^{7} y^{8} - x^{5} y^{7} + x^{11} y^{4} - x^{6} y^{12} = x^{5} y^{4} (x^{2} y^{4} - y^{3} + x^{6} - x y^{8})\]
Étape 3 : Vérifier si le facteur restant peut être factorisé davantage
Examinons l’expression entre parenthèses : \(x^{2} y^{4} - y^{3} + x^{6} - x y^{8}\).
Il n’y a pas de facteur commun supplémentaire évident, et aucune méthode de factorisation standard ne s’applique directement. Nous avons donc factorisé l’expression aussi complètement que possible.
Réponse finale :
\[x^{7} y^{8} - x^{5} y^{7} + x^{11} y^{4} - x^{6} y^{12} = x^{5} y^{4} (x^{2} y^{4} - y^{3} + x^{6} - x y^{8})\]
Étape 1 : Simplifier les coefficients fractionnaires
Convertissons \(0,25\) en fraction :
\[0,25 = \frac{1}{4}\]
Donc, l’expression devient :
\[\frac{1}{4} a^{4} b^{3} + \frac{1}{4} a^{5} b^{6} - b^{7}\]
Étape 2 : Identifier le facteur commun
Recherchons le facteur commun dans chaque terme : - Coefficient : \(\frac{1}{4}\) et 1. Le plus grand facteur commun possible est 1, mais nous pouvons laisser \(\frac{1}{4}\) comme coefficient commun pour les deux premiers termes. - Pour \(a\) : les exposants sont 4, 5, et 0 (pour le dernier terme). Le plus petit est 0, donc pas de facteur \(a\) commun. - Pour \(b\) : les exposants sont 3, 6, et 7. Le plus petit est 3.
Ainsi, le facteur commun est \(b^{3}\).
Étape 3 : Factoriser le facteur commun
\[\frac{1}{4} a^{4} b^{3} + \frac{1}{4} a^{5} b^{6} - b^{7} = b^{3} \left( \frac{1}{4} a^{4} + \frac{1}{4} a^{5} b^{3} - b^{4} \right)\]
Étape 4 : Vérifier si le facteur restant peut être factorisé davantage
Examinons l’expression entre parenthèses : \(\frac{1}{4} a^{4} + \frac{1}{4} a^{5} b^{3} - b^{4}\).
Factorisons \(\frac{1}{4}\) dans les deux premiers termes :
\[\frac{1}{4} (a^{4} + a^{5} b^{3}) - b^{4}\]
Puis, on peut factoriser \(a^{4}\) dans les termes parenthèses :
\[\frac{1}{4} a^{4} (1 + a b^{3}) - b^{4}\]
Il n’y a pas de facteur commun supplémentaire, donc nous avons factorisé autant que possible.
Réponse finale :
\[0,25 a^{4} b^{3} + \frac{1}{4} a^{5} b^{6} - b^{7} = b^{3} \left( \frac{1}{4} a^{4} + \frac{1}{4} a^{5} b^{3} - b^{4} \right)\]
Étape 1 : Identifier le facteur commun
Recherchons les plus petits exposants de chaque variable dans tous les termes : - Pour \(x\) : les exposants sont 4, 4, et 3. Le plus petit est 3. - Pour \(y\) : les exposants sont 0, 1, et 2. Le plus petit est 0, donc pas de facteur commun en \(y\).
Donc, le facteur commun est \(x^{3}\).
Étape 2 : Factoriser le facteur commun
\[x^{4} - 10 x^{4} y + 15 x^{3} y^{2} = x^{3} (x - 10 x y + 15 y^{2})\]
Étape 3 : Simplifier et vérifier la factorisation supplémentaire
Simplifions l’expression entre parenthèses :
\[x - 10 x y + 15 y^{2}\]
Remarquons que \(x\) est commun aux deux premiers termes :
\[x (1 - 10 y) + 15 y^{2}\]
Il n’y a pas de factorisation supplémentaire évidente, donc l’expression est déjà complètement factorisée.
Réponse finale :
\[x^{4} - 10 x^{4} y + 15 x^{3} y^{2} = x^{3} (x - 10 x y + 15 y^{2})\]
Étape 1 : Identifier le facteur commun
Recherchons les plus petits exposants de chaque variable dans tous les termes : - Pour \(a\) : les exposants sont 3, 2, et 7. Le plus petit est 2. - Pour \(b\) : les exposants sont 1, 2, et 2. Le plus petit est 1. - Pour les coefficients : 15, 6, et 3. Le plus grand facteur commun est 3.
Donc, le facteur commun est \(3 a^{2} b\).
Étape 2 : Factoriser le facteur commun
\[15 a^{3} b - 6 a^{2} b^{2} + 3 a^{7} b^{2} = 3 a^{2} b (5 a - 2 b + a^{5} b)\]
Étape 3 : Vérifier si le facteur restant peut être factorisé davantage
Examinons l’expression entre parenthèses : \(5 a - 2 b + a^{5} b\).
Il n’y a pas de facteur commun supplémentaire et aucune méthode de factorisation standard ne s’applique directement. Donc, l’expression est déjà complètement factorisée.
Réponse finale :
\[15 a^{3} b - 6 a^{2} b^{2} + 3 a^{7} b^{2} = 3 a^{2} b (5 a - 2 b + a^{5} b)\]
Étape 1 : Identifier le facteur commun
Recherchons les plus petits exposants de chaque variable : - Pour \(a\) : les exposants sont 1 et 3. Le plus petit est 1. - Pour \(b\) : les exposants sont 3 et 1. Le plus petit est 1. - Pour les coefficients : \(\frac{1}{3}\) et \(\frac{1}{9}\). Le plus grand facteur commun est \(\frac{1}{9}\).
Cependant, il est plus simple de factoriser \(\frac{1}{3} a b\) comme facteur commun :
\[ \frac{1}{3} a b (\cancel{b^{2}}) - \frac{1}{9} a^{3} b = \frac{1}{3} a b \left(b^{2} - \frac{1}{3} a^{2}\right) \]
Mais pour éviter fractions, nous pouvons multiplier le facteur commun par \(\frac{1}{3}\).
Étape 2 : Factoriser le facteur commun \(\frac{1}{3} a b\)
\[\frac{1}{3} a b^{3} - \frac{1}{9} a^{3} b = \frac{1}{3} a b (b^{2} - \frac{1}{3} a^{2})\]
Pour éliminer la fraction dans le facteur restant, nous pouvons réécrire \(\frac{1}{3} a^{2}\) comme \(\frac{a^{2}}{3}\):
\[\frac{1}{3} a b (b^{2} - \frac{a^{2}}{3})\]
Étape 3 : Vérifier si le facteur restant peut être factorisé davantage
L’expression \(b^{2} - \frac{a^{2}}{3}\) ne peut pas être factorisée davantage sans introduire des racines carrées, ce qui dépasse le niveau de l’algèbre de base.
Réponse finale :
\[\frac{1}{3} a b^{3} - \frac{1}{9} a^{3} b = \frac{1}{3} a b \left(b^{2} - \frac{a^{2}}{3}\right)\]
Étape 1 : Identifier le facteur commun
Recherchons les plus petits exposants de chaque variable dans tous les termes : - Pour les coefficients : 36, 48, et 12. Le plus grand facteur commun est 12. - Pour \(a\) : les exposants sont 5, 4, et 3. Le plus petit est 3. - Pour \(b\) : les exposants sont 1, 2, et 3. Le plus petit est 1.
Donc, le facteur commun est \(12 a^{3} b\).
Étape 2 : Factoriser le facteur commun
\[36 a^{5} b - 48 a^{4} b^{2} + 12 a^{3} b^{3} = 12 a^{3} b (3 a^{2} - 4 a b + b^{2})\]
Étape 3 : Vérifier si le facteur restant peut être factorisé davantage
Examinons l’expression entre parenthèses : \(3 a^{2} - 4 a b + b^{2}\).
Pour factoriser un trinôme de la forme \(ax^{2} + bx + c\), cherchons deux nombres dont le produit est \(3 \times 1 = 3\) et la somme est \(-4\).
Les nombres -3 et -1 satisfont ces conditions :
\[ 3 a^{2} - 3 a b - a b + b^{2} = (3 a^{2} - 3 a b) - (a b - b^{2}) \] \[ = 3 a (a - b) - b (a - b) \] \[ = (3 a - b)(a - b) \]
Réponse finale :
\[36 a^{5} b - 48 a^{4} b^{2} + 12 a^{3} b^{3} = 12 a^{3} b (3 a^{2} - 4 a b + b^{2}) = 12 a^{3} b (3 a - b)(a - b)\]