Factorisez l’expression suivante : \(2 a^{3} b - 4 a b^{2} + 8 a b\)
Factorisez l’expression suivante : \(3 a^{4} b^{3} - 12 a^{3} b + 9 a b^{4}\)
Factorisez l’expression suivante : \(7 x^{4} y - 14 x^{2} y^{4} + 21 x y^{5}\)
Factorisez l’expression suivante : \(2 a b^{3} - 16 a^{3} b + 4 a^{3} b^{3}\)
Factorisez l’expression suivante : \(5 t^{2} u - 10 t u^{3} + 15 t^{2} u^{2}\)
Factorisez l’expression suivante : \(13 x^{4} y^{5} - 26 x^{2} y^{3} + 169 x^{4} y^{4}\)
Voici les résultats des exercices :
Exercice 19 : \[2a^{3}b - 4ab^{2} + 8ab = 2ab(a^{2} - 2b + 4)\]
Exercice 20 : \[3a^{4}b^{3} - 12a^{3}b + 9ab^{4} = 3ab(a^{3}b^{2} - 4a^{2} + 3b^{3})\]
Exercice 21 : \[7x^{4}y - 14x^{2}y^{4} + 21xy^{5} = 7xy(x^{3} - 2xy^{3} + 3y^{4})\]
Exercice 22 : \[2ab^{3} - 16a^{3}b + 4a^{3}b^{3} = 2ab(b^{2} - 8a^{2} + 2a^{2}b^{2})\]
Exercice 23 : \[5t^{2}u - 10tu^{3} + 15t^{2}u^{2} = 5tu(t - 2u^{2} + 3tu)\]
Exercice 24 : \[13x^{4}y^{5} - 26x^{2}y^{3} + 169x^{4}y^{4} = 13x^{2}y^{3}(x^{2}y^{2} - 2 + 13x^{2}y)\]
Question 19) Factorisez l’expression suivante : \(2 a^{3} b - 4 a b^{2} + 8 a b\)
Étapes de résolution :
Identifier le facteur commun :
Coefficients numériques : Les coefficients sont 2, -4 et 8. Le plus grand commun diviseur (PGCD) de ces nombres est 2.
Variables : Chaque terme contient \(a\) et \(b\). Le plus petit exposant de \(a\) est \(a\) (ou \(a^1\)) et celui de \(b\) est \(b\) (ou \(b^1\)).
Extraire le facteur commun :
\[ 2a^{3}b - 4ab^{2} + 8ab = 2ab (a^{2} - 2b + 4) \]
Vérification :
Développons \(2ab (a^{2} - 2b + 4)\) pour vérifier :
\[ 2ab \cdot a^{2} = 2a^{3}b \] \[ 2ab \cdot (-2b) = -4ab^{2} \] \[ 2ab \cdot 4 = 8ab \]
Ce qui retrouve bien l’expression initiale.
Résultat :
\[ 2a^{3}b - 4ab^{2} + 8ab = 2ab(a^{2} - 2b + 4) \]
Question 20) Factorisez l’expression suivante : \(3 a^{4} b^{3} - 12 a^{3} b + 9 a b^{4}\)
Étapes de résolution :
Identifier le facteur commun :
Coefficients numériques : Les coefficients sont 3, -12 et 9. Le PGCD est 3.
Variables : Chaque terme contient \(a\) et \(b\). L’exposant le plus bas de \(a\) est \(a\) (ou \(a^1\)) et de \(b\) est \(b\) (ou \(b^1\)).
Extraire le facteur commun :
\[ 3a^{4}b^{3} - 12a^{3}b + 9ab^{4} = 3ab (a^{3}b^{2} - 4a^{2} + 3b^{3}) \]
Vérification :
Développons \(3ab (a^{3}b^{2} - 4a^{2} + 3b^{3})\) pour vérifier :
\[ 3ab \cdot a^{3}b^{2} = 3a^{4}b^{3} \] \[ 3ab \cdot (-4a^{2}) = -12a^{3}b \] \[ 3ab \cdot 3b^{3} = 9ab^{4} \]
Ce qui correspond à l’expression initiale.
Résultat :
\[ 3a^{4}b^{3} - 12a^{3}b + 9ab^{4} = 3ab(a^{3}b^{2} - 4a^{2} + 3b^{3}) \]
Question 21) Factorisez l’expression suivante : \(7 x^{4} y - 14 x^{2} y^{4} + 21 x y^{5}\)
Étapes de résolution :
Identifier le facteur commun :
Coefficients numériques : Les coefficients sont 7, -14, et 21. Le PGCD est 7.
Variables : Chaque terme contient \(x\) et \(y\). L’exposant le plus bas de \(x\) est \(x\) (ou \(x^1\)) et de \(y\) est \(y\) (ou \(y^1\)).
Extraire le facteur commun :
\[ 7x^{4}y - 14x^{2}y^{4} + 21xy^{5} = 7xy (x^{3} - 2x y^{3} + 3y^{4}) \]
Vérification :
Développons \(7xy (x^{3} - 2x y^{3} + 3y^{4})\) pour vérifier :
\[ 7xy \cdot x^{3} = 7x^{4}y \] \[ 7xy \cdot (-2x y^{3}) = -14x^{2}y^{4} \] \[ 7xy \cdot 3y^{4} = 21xy^{5} \]
Ce qui correspond à l’expression initiale.
Résultat :
\[ 7x^{4}y - 14x^{2}y^{4} + 21xy^{5} = 7xy(x^{3} - 2x y^{3} + 3y^{4}) \]
Question 22) Factorisez l’expression suivante : \(2 a b^{3} - 16 a^{3} b + 4 a^{3} b^{3}\)
Étapes de résolution :
Identifier le facteur commun :
Coefficients numériques : Les coefficients sont 2, -16, et 4. Le PGCD est 2.
Variables : Chaque terme contient \(a\) et \(b\). L’exposant le plus bas de \(a\) est \(a\) et de \(b\) est \(b\).
Extraire le facteur commun :
\[ 2ab^{3} - 16a^{3}b + 4a^{3}b^{3} = 2ab (b^{2} - 8a^{2} + 2a^{2}b^{2}) \]
Simplifier l’expression à l’intérieur des parenthèses :
Regroupons les termes :
\[ 2ab (2a^{2}b^{2} - 8a^{2} + b^{2}) \]
On peut factoriser \(a^{2}\) dans les termes contenant \(a^{2}\) :
\[ 2ab (a^{2}(2b^{2} - 8) + b^{2}) = 2ab (2a^{2}b^{2} - 8a^{2} + b^{2}) \]
Mais cette expression ne se factorise pas davantage facilement avec des entiers.
Résultat :
\[ 2ab^{3} - 16a^{3}b + 4a^{3}b^{3} = 2ab( b^{2} - 8a^{2} + 2a^{2}b^{2}) \]
Question 23) Factorisez l’expression suivante : \(5 t^{2} u - 10 t u^{3} + 15 t^{2} u^{2}\)
Étapes de résolution :
Identifier le facteur commun :
Coefficients numériques : Les coefficients sont 5, -10, et 15. Le PGCD est 5.
Variables : Chaque terme contient \(t\) et \(u\). L’exposant le plus bas de \(t\) est \(t\) (ou \(t^1\)) et de \(u\) est \(u\) (ou \(u^1\)).
Extraire le facteur commun :
\[ 5t^{2}u - 10tu^{3} + 15t^{2}u^{2} = 5tu (t - 2u^{2} + 3tu) \]
Vérification :
Développons \(5tu (t - 2u^{2} + 3tu)\) pour vérifier :
\[ 5tu \cdot t = 5t^{2}u \] \[ 5tu \cdot (-2u^{2}) = -10tu^{3} \] \[ 5tu \cdot 3tu = 15t^{2}u^{2} \]
Ce qui correspond à l’expression initiale.
Résultat :
\[ 5t^{2}u - 10tu^{3} + 15t^{2}u^{2} = 5tu(t - 2u^{2} + 3tu) \]
Question 24) Factorisez l’expression suivante : \(13 x^{4} y^{5} - 26 x^{2} y^{3} + 169 x^{4} y^{4}\)
Étapes de résolution :
Identifier le facteur commun :
Coefficients numériques : Les coefficients sont 13, -26, et 169. Le PGCD est 13.
Variables : Chaque terme contient \(x\) et \(y\). L’exposant le plus bas de \(x\) est \(x^{2}\) et de \(y\) est \(y^{3}\).
Extraire le facteur commun :
\[ 13x^{4}y^{5} - 26x^{2}y^{3} + 169x^{4}y^{4} = 13x^{2}y^{3}(x^{2}y^{2} - 2 + 13x^{2}y) \]
Vérification :
Développons \(13x^{2}y^{3}(x^{2}y^{2} - 2 + 13x^{2}y)\) pour vérifier :
\[ 13x^{2}y^{3} \cdot x^{2}y^{2} = 13x^{4}y^{5} \] \[ 13x^{2}y^{3} \cdot (-2) = -26x^{2}y^{3} \] \[ 13x^{2}y^{3} \cdot 13x^{2}y = 169x^{4}y^{4} \]
Ce qui correspond à l’expression initiale.
Résultat :
\[ 13x^{4}y^{5} - 26x^{2}y^{3} + 169x^{4}y^{4} = 13x^{2}y^{3}(x^{2}y^{2} - 2 + 13x^{2}y) \]