Résoudre les équations suivantes :
\((3x + 4)\left(x - \dfrac{3}{2}\right)\dfrac{x}{2} = 0\)
\((4x - 2)\left(\dfrac{x}{3} + 1\right)\left(\dfrac{2}{3}x - \dfrac{1}{2}\right) = 0\)
\(\left(3x + \dfrac{1}{3}\right)\left(x^{2} - 4\right)\left(6 - \dfrac{3}{4}x\right) = 0\)
\(\left(4x^{2} - 1\right)\left(\dfrac{5x - 6}{3}\right)(-2x) = 0\)
\(\left(x^{2} + 9\right)(-3x - 1)\left(\dfrac{1}{2}x + \dfrac{2}{3}\right) = 0\)
\(\left(0.1x + 1\right)\left(x^{2} - 3\right)\left(10x - \dfrac{1}{2}\right) = 0\)
Résumé : Pour résoudre le produit égal à zéro, on pose chaque facteur égal à 0. Ainsi, on obtient :
La solution se déduit en résolvant simplement chaque équation factorielle.
Nous allons résoudre chacune des équations en utilisant le principe élémentaire suivant : un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins l’un de ces facteurs est nul. Autrement dit, pour l’équation de la forme (facteur 1) × (facteur 2) × … = 0, il faut résoudre chacune des équations (facteur) = 0.
────────────────────────────── 1) Équation : (3x + 4)·(x – 3/2)·(x/2) = 0
Remarque : Le nombre 1/2 qui multiplie le dernier facteur n’affecte pas la solution puisque 1/2 ≠ 0.
► Premier facteur : 3x + 4 = 0
• On isole x : 3x = –4
• x = –4/3
► Deuxième facteur : x – 3/2 = 0
• x = 3/2
► Troisième facteur : x = 0
• x = 0
Ainsi, l’ensemble des solutions est :
x = –4/3, 0, 3/2
────────────────────────────── 2) Équation : (4x – 2)·(x/3 + 1)·(2/3·x – 1/2) = 0
Nous réglons chaque facteur :
► Premier facteur : 4x – 2 = 0
• 4x = 2
• x = 1/2
► Deuxième facteur : x/3 + 1 = 0
• x/3 = –1
• x = –3
► Troisième facteur : (2/3·x – 1/2) = 0
Pour simplifier, multiplions l’équation par 6 (le plus petit commun
multiple de 3 et 2) :
• 6 × (2/3·x) = 4x et 6 × (1/2) = 3
L’équation devient : 4x – 3 = 0
• 4x = 3
• x = 3/4
Ainsi, l’ensemble des solutions est :
x = 1/2, –3, 3/4
────────────────────────────── 3) Équation : (3x + 1/3)·(x² – 4)·(6 – (3/4)x) = 0
Nous résolvons chaque facteur :
► Premier facteur : 3x + 1/3 = 0
• 3x = –1/3
• x = –1/9
► Deuxième facteur : x² – 4 = 0
• x² = 4
• x = 2 ou x = –2
► Troisième facteur : 6 – (3/4)x = 0
• (3/4)x = 6
• Pour isoler x, multiplions par 4/3 : x = 6·(4/3) = 8
Ainsi, les solutions sont :
x = –1/9, 2, –2, 8
────────────────────────────── 4) Équation : (4x² – 1)·((5x – 6)/3)·(–2x) = 0
Nous déterminons les racines de chaque facteur :
► Premier facteur : 4x² – 1 = 0
Il s’agit d’une différence de deux carrés, que l’on peut factoriser
:
(2x – 1)(2x + 1) = 0
Donc,
• 2x – 1 = 0 ⇒ x = 1/2
• 2x + 1 = 0 ⇒ x = –1/2
► Deuxième facteur : (5x – 6)/3 = 0
• 5x – 6 = 0
• 5x = 6
• x = 6/5
► Troisième facteur : –2x = 0
• x = 0
Ainsi, l’ensemble des solutions est :
x = 1/2, –1/2, 6/5, 0
────────────────────────────── 5) Équation : (x² + 9)·(–3x – 1)·((1/2)x + 2/3) = 0
Examinons chaque facteur :
► Premier facteur : x² + 9 = 0
• x² = –9
Comme le carré d’un nombre réel est toujours positif ou nul, cette
équation n’admet pas de solution réelle.
► Deuxième facteur : –3x – 1 = 0
• –3x = 1
• x = –1/3
► Troisième facteur : (1/2)x + 2/3 = 0
Pour simplifier, multiplions par 6 (le PPCM de 2 et 3) :
• 6 × (1/2)x = 3x et 6 × (2/3) = 4
L’équation devient : 3x + 4 = 0
• 3x = –4
• x = –4/3
Les solutions réelles sont donc :
x = –1/3, –4/3
────────────────────────────── 6) Équation : (0,1x + 1)·(x² – 3)·(10x – 1/2) = 0
Remarque : 0,1x représente x/10.
Nous résolvons chaque facteur :
► Premier facteur : 0,1x + 1 = 0
• x/10 + 1 = 0
• x/10 = –1
• x = –10
► Deuxième facteur : x² – 3 = 0
• x² = 3
• x = √3 ou x = –√3
► Troisième facteur : 10x – 1/2 = 0
• 10x = 1/2
• x = (1/2) / 10 = 1/20
Ainsi, l’ensemble des solutions est :
x = –10, √3, –√3, 1/20
────────────────────────────── Récapitulatif des solutions :
Chaque étape a consisté à poser chaque facteur égal à zéro puis à résoudre simplement les équations obtenues. Cette méthode permet de décomposer un problème complexe en problèmes plus simples, facilement abordables.