Résoudre les équations suivantes :
\(\frac{5}{3} x \cdot (x - 2) \cdot (x + 7) = 0\)
\(\left(\frac{x}{2} - 3\right) \cdot (2x - 1) \cdot \left(x - \frac{3}{4}\right) = 0\)
\(\left(2x - \frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{x}{3} + 1\right) \cdot (5 - x) = 0\)
\(\left(x - \frac{1}{2}\right) \cdot (2x + 3) \cdot (-x - 5) = 0\)
\((3x - 1) \cdot \left(\frac{1}{2}x + 1\right) \cdot \left(\frac{2x + 3}{3}\right) = 0\)
\(\left(x^{2} + 1\right) \cdot 2x \cdot (0,5x - 3) = 0\)
Réponses : 1) x = –7, 0, 2
2) x = 6, 1/2, 3/4
3) x = 1/4, –3, 5
4) x = 1/2, –3/2, –5
5) x = 1/3, –2, –3/2
6) x = 0, 6
Nous allons résoudre chacune des équations en utilisant la propriété suivante : si un produit de facteurs est égal à 0, alors au moins l’un des facteurs doit être égal à 0. Voyons cela étape par étape.
────────────────────────────── 1) Équation : (5/3) · x · (x – 2) · (x + 7) = 0
Observation : Le facteur (5/3) est un nombre non nul. Il n’influence donc pas l’équation lorsqu’on recherche les zéros du produit. On cherche donc à ce que l’un des autres facteurs soit nul.
• Premier facteur : x = 0. • Deuxième facteur : x – 2 = 0 ⟹ x = 2. • Troisième facteur : x + 7 = 0 ⟹ x = –7.
Donc, l’ensemble des solutions est : x = –7, 0, 2.
────────────────────────────── 2) Équation : [(x/2) – 3] · (2x – 1) · (x – 3/4) = 0
Chaque facteur doit être mis à zéro :
• Pour (x/2) – 3 = 0
Ajouter 3 des deux côtés : x/2 = 3
Multiplier par 2 : x = 6.
• Pour 2x – 1 = 0
Ajouter 1 : 2x = 1
Diviser par 2 : x = 1/2.
• Pour x – 3/4 = 0
Ajouter 3/4 : x = 3/4.
Ainsi, les solutions sont : x = 6, 1/2, 3/4.
────────────────────────────── 3) Équation : (2x – 1/2) · (x/3 + 1) · (5 – x) = 0
Résolvons chaque facteur :
• Pour 2x – 1/2 = 0
Ajouter 1/2 : 2x = 1/2
Diviser par 2 : x = (1/2) ÷ 2 = 1/4.
• Pour (x/3 + 1) = 0
Soustraire 1 : x/3 = –1
Multiplier par 3 : x = –3.
• Pour 5 – x = 0
Ajouter x : 5 = x
Ou directement : x = 5.
Les solutions sont donc : x = 1/4, –3, 5.
────────────────────────────── 4) Équation : (x – 1/2) · (2x + 3) · (–x – 5) = 0
Chaque facteur doit être zéro :
• Pour x – 1/2 = 0
x = 1/2.
• Pour 2x + 3 = 0
2x = –3
x = –3/2.
• Pour –x – 5 = 0
Ajouter x : –5 = x
Ou multiplier par –1 des deux côtés : x = –5.
Les solutions sont donc : x = 1/2, –3/2, –5.
────────────────────────────── 5) Équation : (3x – 1) · ((1/2)x + 1) · ((2x + 3)/3) = 0
On met chacun des facteurs égal à 0 :
• Pour 3x – 1 = 0
3x = 1
x = 1/3.
• Pour (1/2)x + 1 = 0
(1/2)x = –1
x = –2 (car –1 multiplié par 2 donne –2).
• Pour (2x + 3)/3 = 0
Le numérateur doit être nul : 2x + 3 = 0
2x = –3
x = –3/2.
Ainsi, nous avons : x = 1/3, –2, –3/2.
────────────────────────────── 6) Équation : (x² + 1) · 2x · (0,5x – 3) = 0
Remarque importante : Le facteur x² + 1 est toujours strictement positif pour tout x réel, car x² ≥ 0 et donc x² + 1 ≥ 1. Il ne peut jamais être égal à 0.
Il faut donc résoudre uniquement :
• 2x = 0
Diviser par 2 : x = 0.
• 0,5x – 3 = 0
Ajouter 3 : 0,5x = 3
Diviser par 0,5 : x = 3 / 0,5 = 6.
En conséquence, les solutions de cette équation sont : x = 0 et x = 6.
────────────────────────────── Résumé des solutions :
Chaque étape a été détaillée afin de comprendre la méthode « produit nul » pour résoudre ces équations.