Exercice 33

Résoudre les équations suivantes :

  1. \(\frac{5}{3} x \cdot (x - 2) \cdot (x + 7) = 0\)

  2. \(\left(\frac{x}{2} - 3\right) \cdot (2x - 1) \cdot \left(x - \frac{3}{4}\right) = 0\)

  3. \(\left(2x - \frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{x}{3} + 1\right) \cdot (5 - x) = 0\)

  4. \(\left(x - \frac{1}{2}\right) \cdot (2x + 3) \cdot (-x - 5) = 0\)

  5. \((3x - 1) \cdot \left(\frac{1}{2}x + 1\right) \cdot \left(\frac{2x + 3}{3}\right) = 0\)

  6. \(\left(x^{2} + 1\right) \cdot 2x \cdot (0,5x - 3) = 0\)

Réponse

Réponses : 1) x = –7, 0, 2
2) x = 6, 1/2, 3/4
3) x = 1/4, –3, 5
4) x = 1/2, –3/2, –5
5) x = 1/3, –2, –3/2
6) x = 0, 6

Corrigé détaillé

Nous allons résoudre chacune des équations en utilisant la propriété suivante : si un produit de facteurs est égal à 0, alors au moins l’un des facteurs doit être égal à 0. Voyons cela étape par étape.

────────────────────────────── 1) Équation : (5/3) · x · (x – 2) · (x + 7) = 0

Observation : Le facteur (5/3) est un nombre non nul. Il n’influence donc pas l’équation lorsqu’on recherche les zéros du produit. On cherche donc à ce que l’un des autres facteurs soit nul.

• Premier facteur : x = 0. • Deuxième facteur : x – 2 = 0 ⟹ x = 2. • Troisième facteur : x + 7 = 0 ⟹ x = –7.

Donc, l’ensemble des solutions est : x = –7, 0, 2.

────────────────────────────── 2) Équation : [(x/2) – 3] · (2x – 1) · (x – 3/4) = 0

Chaque facteur doit être mis à zéro :

• Pour (x/2) – 3 = 0
  Ajouter 3 des deux côtés : x/2 = 3
  Multiplier par 2 : x = 6.

• Pour 2x – 1 = 0
  Ajouter 1 : 2x = 1
  Diviser par 2 : x = 1/2.

• Pour x – 3/4 = 0
  Ajouter 3/4 : x = 3/4.

Ainsi, les solutions sont : x = 6, 1/2, 3/4.

────────────────────────────── 3) Équation : (2x – 1/2) · (x/3 + 1) · (5 – x) = 0

Résolvons chaque facteur :

• Pour 2x – 1/2 = 0
  Ajouter 1/2 : 2x = 1/2
  Diviser par 2 : x = (1/2) ÷ 2 = 1/4.

• Pour (x/3 + 1) = 0
  Soustraire 1 : x/3 = –1
  Multiplier par 3 : x = –3.

• Pour 5 – x = 0
  Ajouter x : 5 = x
  Ou directement : x = 5.

Les solutions sont donc : x = 1/4, –3, 5.

────────────────────────────── 4) Équation : (x – 1/2) · (2x + 3) · (–x – 5) = 0

Chaque facteur doit être zéro :

• Pour x – 1/2 = 0
  x = 1/2.

• Pour 2x + 3 = 0
  2x = –3
  x = –3/2.

• Pour –x – 5 = 0
  Ajouter x : –5 = x
  Ou multiplier par –1 des deux côtés : x = –5.

Les solutions sont donc : x = 1/2, –3/2, –5.

────────────────────────────── 5) Équation : (3x – 1) · ((1/2)x + 1) · ((2x + 3)/3) = 0

On met chacun des facteurs égal à 0 :

• Pour 3x – 1 = 0
  3x = 1
  x = 1/3.

• Pour (1/2)x + 1 = 0
  (1/2)x = –1
  x = –2          (car –1 multiplié par 2 donne –2).

• Pour (2x + 3)/3 = 0
  Le numérateur doit être nul : 2x + 3 = 0
  2x = –3
  x = –3/2.

Ainsi, nous avons : x = 1/3, –2, –3/2.

────────────────────────────── 6) Équation : (x² + 1) · 2x · (0,5x – 3) = 0

Remarque importante : Le facteur x² + 1 est toujours strictement positif pour tout x réel, car x² ≥ 0 et donc x² + 1 ≥ 1. Il ne peut jamais être égal à 0.

Il faut donc résoudre uniquement :

• 2x = 0
  Diviser par 2 : x = 0.

• 0,5x – 3 = 0
  Ajouter 3 : 0,5x = 3
  Diviser par 0,5 : x = 3 / 0,5 = 6.

En conséquence, les solutions de cette équation sont : x = 0 et x = 6.

────────────────────────────── Résumé des solutions :

  1. x = –7, 0, 2
  2. x = 6, x = 1/2, x = 3/4
  3. x = 1/4, x = –3, x = 5
  4. x = 1/2, x = –3/2, x = –5
  5. x = 1/3, x = –2, x = –3/2
  6. x = 0 et x = 6

Chaque étape a été détaillée afin de comprendre la méthode « produit nul » pour résoudre ces équations.

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