\((2x + y - 1)^{2} - 25\)
\(4x^{2} - (x + y - 1)^{2}\)
\(x^{2}(x + 1)^{2} - 16\)
\((x + 2y - 1)^{2} - (x - 2y)^{2}\)
\((3a^{2} - 2)^{2} - (a^{2} + 1)^{2}\)
\((2x + y)^{4} - 1\)
Les exercices ont été factorisés en utilisant la différence de carrés \(A² - B² = (A - B)(A + B)\). Chaque expression a été décomposée en identifiant les termes au carré, appliquant la formule appropriée, puis simplifiant les facteurs obtenus.
\[ (2x + y - 1)^{2} - 25 \]
Nous devons simplifier l’expression en reconnaissant qu’il s’agit d’une différence de carrés.
Identifier les termes au carré :
\[ (2x + y - 1)^{2} \quad \text{et} \quad 25 = 5^{2} \]
Appliquer la formule de la différence de carrés :
\[ A^{2} - B^{2} = (A - B)(A + B) \]
où \(A = 2x + y - 1\) et \(B = 5\).
Factoriser l’expression :
\[ (2x + y - 1)^{2} - 25 = (2x + y - 1 - 5)(2x + y - 1 + 5) \]
Simplifier les parenthèses :
\[ (2x + y - 6)(2x + y + 4) \]
\[ (2x + y - 6)(2x + y + 4) \]
\[ 4x^{2} - (x + y - 1)^{2} \]
Cette expression est également une différence de carrés.
Identifier les termes au carré :
\[ 4x^{2} = (2x)^{2} \quad \text{et} \quad (x + y - 1)^{2} \]
Appliquer la formule de la différence de carrés :
\[ A^{2} - B^{2} = (A - B)(A + B) \]
où \(A = 2x\) et \(B = x + y - 1\).
Factoriser l’expression :
\[ 4x^{2} - (x + y - 1)^{2} = (2x - (x + y - 1))(2x + (x + y - 1)) \]
Simplifier les parenthèses :
\[ (2x - x - y + 1)(2x + x + y - 1) = (x - y + 1)(3x + y - 1) \]
\[ (x - y + 1)(3x + y - 1) \]
\[ x^{2}(x + 1)^{2} - 16 \]
Ici, l’expression peut être vue comme une différence de carrés.
Réécrire l’expression :
\[ x^{2}(x + 1)^{2} = (x(x + 1))^{2} \quad \text{et} \quad 16 = 4^{2} \]
Appliquer la formule de la différence de carrés :
\[ A^{2} - B^{2} = (A - B)(A + B) \]
où \(A = x(x + 1)\) et \(B = 4\).
Factoriser l’expression :
\[ x^{2}(x + 1)^{2} - 16 = (x(x + 1) - 4)(x(x + 1) + 4) \]
Simplifier les termes :
\[ (x^{2} + x - 4)(x^{2} + x + 4) \]
\[ (x^{2} + x - 4)(x^{2} + x + 4) \]
\[ (x + 2y - 1)^{2} - (x - 2y)^{2} \]
Nous avons une différence de deux carrés qui peut être simplifiée.
Identifier les termes au carré :
\[ A = x + 2y - 1 \quad \text{et} \quad B = x - 2y \]
Appliquer la formule de la différence de carrés :
\[ A^{2} - B^{2} = (A - B)(A + B) \]
Calculer \(A - B\) et \(A + B\) :
\[ A - B = (x + 2y - 1) - (x - 2y) = 4y - 1 \]
\[ A + B = (x + 2y - 1) + (x - 2y) = 2x - 1 \]
Factoriser l’expression :
\[ (x + 2y - 1)^{2} - (x - 2y)^{2} = (4y - 1)(2x - 1) \]
\[ (4y - 1)(2x - 1) \]
\[ (3a^{2} - 2)^{2} - (a^{2} + 1)^{2} \]
Cette expression est une différence de carrés.
Identifier les termes au carré :
\[ A = 3a^{2} - 2 \quad \text{et} \quad B = a^{2} + 1 \]
Appliquer la formule de la différence de carrés :
\[ A^{2} - B^{2} = (A - B)(A + B) \]
Calculer \(A - B\) et \(A + B\) :
\[ A - B = (3a^{2} - 2) - (a^{2} + 1) = 2a^{2} - 3 \]
\[ A + B = (3a^{2} - 2) + (a^{2} + 1) = 4a^{2} - 1 \]
Factoriser l’expression :
\[ (3a^{2} - 2)^{2} - (a^{2} + 1)^{2} = (2a^{2} - 3)(4a^{2} - 1) \]
\[ (2a^{2} - 3)(4a^{2} - 1) \]
\[ (2x + y)^{4} - 1 \]
L’expression peut être simplifiée en considérant qu’il s’agit d’une différence de carrés, en remarquant que \(1 = 1^{2}\).
Réécrire l’expression :
\[ (2x + y)^{4} - 1 = [(2x + y)^{2}]^{2} - 1^{2} \]
Appliquer la formule de la différence de carrés :
\[ A^{2} - B^{2} = (A - B)(A + B) \]
où \(A = (2x + y)^{2}\) et \(B = 1\).
Factoriser l’expression :
\[ [(2x + y)^{2}]^{2} - 1^{2} = [(2x + y)^{2} - 1][(2x + y)^{2} + 1] \]
Factoriser de nouveau le premier facteur, qui est une différence de carrés :
\[ (2x + y)^{2} - 1 = [(2x + y) - 1][(2x + y) + 1] = (2x + y - 1)(2x + y + 1) \]
Ainsi, l’expression complète devient :
\[ (2x + y - 1)(2x + y + 1)\left[(2x + y)^{2} + 1\right] \]
\[ (2x + y - 1)(2x + y + 1)\left[(2x + y)^{2} + 1\right] \]