Exercice 31

  1. Factorisez l’expression suivante : \(-4 x^{9} y + 4 x^{4} y^{6} - x^{8} y + x^{3} y^{6}\)

  2. Simplifiez l’expression suivante : \(8 x^{2} y - 4 x - 6 x y^{2} + 3 y\)

  3. Factorisez l’expression suivante : \(a^{2} - 5 a^{2} b + 10 a^{3} b^{2} - 15 a^{5}\)

  4. Regroupez les termes de l’expression suivante : \(7 a^{4} + 28 a - 14 a^{3} b - 56 b\)

  5. Simplifiez l’expression suivante : \(15 a x + 6 a y - 5 b x - 2 b y\)

  6. Factorisez l’expression suivante : \(3 a^{2} x - 4 a^{2} y^{2} - 3 b x + 4 b y^{2}\)

Réponse

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Réponses : 1. (4x + 1) · x³ · y · (y⁵ – x⁵) 2. (2xy – 1)(4x – 3y) 3. a² (1 – 5b + 10ab² – 15a³) 4. 7(a – 2b)(a³ + 4) 5. (3a – b)(5x + 2y) 6. (a² – b)(3x – 4y²)

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée en français pour chacune des expressions proposées :

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Exercice 1. Factoriser l’expression
  –4 x⁹ y + 4 x⁴ y⁶ – x⁸ y + x³ y⁶

  1. Regroupons par paires en remarquant que dans chaque paire un facteur commun apparaît.   • Première paire : –4 x⁹ y – x⁸ y
       – On remarque que x⁸ y est présent dans les deux termes. On le factorise en écrivant :     –4 x⁹ y – x⁸ y = –x⁸ y (4x + 1).

  • Deuxième paire : 4 x⁴ y⁶ + x³ y⁶
   – Ici, le facteur commun est x³ y⁶. On écrit :     4 x⁴ y⁶ + x³ y⁶ = x³ y⁶ (4x + 1).

  1. L’expression s’écrit alors sous la forme :   –x⁸ y (4x + 1) + x³ y⁶ (4x + 1).

  2. On observe maintenant que le facteur (4x + 1) est commun aux deux termes, il peut être mis en facteur :   (4x + 1) [x³ y⁶ – x⁸ y].

  3. Enfin, dans le crochet, on peut factoriser x³ y (facteur commun de x³ y⁶ et x⁸ y) :   x³ y⁶ – x⁸ y = x³ y (y⁵ – x⁵).

La factorisation complète est donc :   (4x + 1)·x³·y·(y⁵ – x⁵).

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Exercice 2. Simplifier l’expression
  8 x² y – 4 x – 6 x y² + 3 y

  1. Réorganisons les termes pour pouvoir regrouper :   (8 x² y – 6 x y²) + (– 4 x + 3 y).

  2. Dans le premier groupe, on remarque que x y est un facteur commun :   8 x² y – 6 x y² = 2 x y (4 x – 3 y).

  3. Dans le deuxième groupe, on peut remarquer que l’on peut écrire   – 4 x + 3 y = –1·(4 x – 3 y),   car 4x et 3y apparaissent avec un signe opposé.

  4. Ainsi, l’expression devient :   2 x y (4 x – 3 y) – 1·(4 x – 3 y) = (4 x – 3 y) (2 x y – 1).

La forme simplifiée est donc :   (2 x y – 1)(4 x – 3 y).

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Exercice 3. Factoriser l’expression
  a² – 5 a² b + 10 a³ b² – 15 a⁵

  1. On commence par remarquer que chaque terme comporte au moins le facteur a². On le factorise :   a² – 5 a² b + 10 a³ b² – 15 a⁵ = a² [1 – 5b + 10a b² – 15a³].

  2. L’expression entre crochets ne présente pas de facteur commun évident pouvant se regrouper en un produit de facteurs simples. On peut, si l’on le souhaite, regrouper par paires :   • Première paire : 1 – 5b
      • Deuxième paire : 10a b² – 15a³ = 5a (2b² – 3a²).

  3. Ainsi, on peut écrire aussi :   a² [(1 – 5b) + 5a (2b² – 3a²)].   Cependant, cette écriture ne permet pas de factoriser davantage l’expression de façon remarquable.

La factorisation acceptable est donc :   a² (1 – 5b + 10a b² – 15a³).

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Exercice 4. Regrouper les termes de l’expression
  7 a⁴ + 28 a – 14 a³ b – 56 b

  1. On regroupe par paires les termes qui semblent présenter un facteur commun :   • Groupe 1 : 7 a⁴ – 14 a³ b
       – On factorise 7 a³ :     7 a⁴ – 14 a³ b = 7 a³ (a – 2b).

  • Groupe 2 : 28 a – 56 b
   – Le facteur commun est 28 :     28 a – 56 b = 28 (a – 2b).

  1. On réécrit l’expression sous la forme :   7 a³ (a – 2b) + 28 (a – 2b).

  2. Le facteur (a – 2b) est commun aux deux termes, on le met en facteur :   (a – 2b) [7 a³ + 28].

  3. Enfin, 7 a³ + 28 se factorise en 7 (a³ + 4).

La factorisation complète est donc :   7 (a – 2b)(a³ + 4).

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Exercice 5. Simplifier l’expression
  15 a x + 6 a y – 5 b x – 2 b y

  1. On commence par regrouper les termes qui contiennent un même type de facteur :   • Regroupons les termes en x : 15 a x – 5 b x
      • Et les termes en y : 6 a y – 2 b y.

  2. Factorisons dans chaque groupe :   • 15 a x – 5 b x = 5 x (3a – b).
      • 6 a y – 2 b y = 2 y (3a – b).

  3. On observe que (3a – b) est commun aux deux groupes. La somme s’écrit :   5 x (3a – b) + 2 y (3a – b) = (3a – b)(5x + 2y).

La forme simplifiée est donc :   (3a – b)(5x + 2y).

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Exercice 6. Factoriser l’expression
  3 a² x – 4 a² y² – 3 b x + 4 b y²

  1. Regroupons les termes en rapprochant ceux qui portent des facteurs semblables :   • Groupe 1 : 3 a² x – 3 b x
      • Groupe 2 : –4 a² y² + 4 b y².

  2. Dans le premier groupe, x est facteur commun :   3 a² x – 3 b x = 3x (a² – b).

  3. Dans le deuxième groupe, 4 y² est facteur commun (en tenant compte du signe négatif) :   –4 a² y² + 4 b y² = –4 y² (a² – b).

  4. On retrouve le facteur (a² – b) dans les deux groupes, que l’on factorise :   3x (a² – b) – 4y² (a² – b) = (a² – b)(3x – 4y²).

La factorisation complète est donc :   (a² – b)(3x – 4y²).

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Récapitulatif des réponses :

  1. (4x + 1) · x³ · y · (y⁵ – x⁵)
  2. (2xy – 1)(4x – 3y)
  3. a² (1 – 5b + 10a b² – 15a³)
  4. 7 (a – 2b)(a³ + 4)
  5. (3a – b)(5x + 2y)
  6. (a² – b)(3x – 4y²)

Chaque étape a été détaillée afin de permettre une compréhension claire des raisonnements et des techniques de factorisation et de simplification.

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