Factorisez l’expression suivante : \(-4 x^{9} y + 4 x^{4} y^{6} - x^{8} y + x^{3} y^{6}\)
Simplifiez l’expression suivante : \(8 x^{2} y - 4 x - 6 x y^{2} + 3 y\)
Factorisez l’expression suivante : \(a^{2} - 5 a^{2} b + 10 a^{3} b^{2} - 15 a^{5}\)
Regroupez les termes de l’expression suivante : \(7 a^{4} + 28 a - 14 a^{3} b - 56 b\)
Simplifiez l’expression suivante : \(15 a x + 6 a y - 5 b x - 2 b y\)
Factorisez l’expression suivante : \(3 a^{2} x - 4 a^{2} y^{2} - 3 b x + 4 b y^{2}\)
Réponses : 1. (4x + 1) · x³ · y · (y⁵ – x⁵) 2. (2xy – 1)(4x – 3y) 3. a² (1 – 5b + 10ab² – 15a³) 4. 7(a – 2b)(a³ + 4) 5. (3a – b)(5x + 2y) 6. (a² – b)(3x – 4y²)
Voici la correction détaillée en français pour chacune des expressions proposées :
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Exercice 1. Factoriser l’expression
–4 x⁹ y + 4 x⁴ y⁶ – x⁸ y + x³ y⁶
• Deuxième paire : 4 x⁴ y⁶ + x³ y⁶
– Ici, le facteur commun est x³ y⁶. On écrit : 4 x⁴ y⁶ + x³ y⁶ =
x³ y⁶ (4x + 1).
L’expression s’écrit alors sous la forme : –x⁸ y (4x + 1) + x³ y⁶ (4x + 1).
On observe maintenant que le facteur (4x + 1) est commun aux deux termes, il peut être mis en facteur : (4x + 1) [x³ y⁶ – x⁸ y].
Enfin, dans le crochet, on peut factoriser x³ y (facteur commun de x³ y⁶ et x⁸ y) : x³ y⁶ – x⁸ y = x³ y (y⁵ – x⁵).
La factorisation complète est donc : (4x + 1)·x³·y·(y⁵ – x⁵).
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Exercice 2. Simplifier l’expression
8 x² y – 4 x – 6 x y² + 3 y
Réorganisons les termes pour pouvoir regrouper : (8 x² y – 6 x y²) + (– 4 x + 3 y).
Dans le premier groupe, on remarque que x y est un facteur commun : 8 x² y – 6 x y² = 2 x y (4 x – 3 y).
Dans le deuxième groupe, on peut remarquer que l’on peut écrire – 4 x + 3 y = –1·(4 x – 3 y), car 4x et 3y apparaissent avec un signe opposé.
Ainsi, l’expression devient : 2 x y (4 x – 3 y) – 1·(4 x – 3 y) = (4 x – 3 y) (2 x y – 1).
La forme simplifiée est donc : (2 x y – 1)(4 x – 3 y).
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Exercice 3. Factoriser l’expression
a² – 5 a² b + 10 a³ b² – 15 a⁵
On commence par remarquer que chaque terme comporte au moins le facteur a². On le factorise : a² – 5 a² b + 10 a³ b² – 15 a⁵ = a² [1 – 5b + 10a b² – 15a³].
L’expression entre crochets ne présente pas de facteur commun
évident pouvant se regrouper en un produit de facteurs simples. On peut,
si l’on le souhaite, regrouper par paires : • Première paire : 1 –
5b
• Deuxième paire : 10a b² – 15a³ = 5a (2b² – 3a²).
Ainsi, on peut écrire aussi : a² [(1 – 5b) + 5a (2b² – 3a²)]. Cependant, cette écriture ne permet pas de factoriser davantage l’expression de façon remarquable.
La factorisation acceptable est donc : a² (1 – 5b + 10a b² – 15a³).
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Exercice 4. Regrouper les termes de l’expression
7 a⁴ + 28 a – 14 a³ b – 56 b
• Groupe 2 : 28 a – 56 b
– Le facteur commun est 28 : 28 a – 56 b = 28 (a – 2b).
On réécrit l’expression sous la forme : 7 a³ (a – 2b) + 28 (a – 2b).
Le facteur (a – 2b) est commun aux deux termes, on le met en facteur : (a – 2b) [7 a³ + 28].
Enfin, 7 a³ + 28 se factorise en 7 (a³ + 4).
La factorisation complète est donc : 7 (a – 2b)(a³ + 4).
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Exercice 5. Simplifier l’expression
15 a x + 6 a y – 5 b x – 2 b y
On commence par regrouper les termes qui contiennent un même type
de facteur : • Regroupons les termes en x : 15 a x – 5 b x
• Et les termes en y : 6 a y – 2 b y.
Factorisons dans chaque groupe : • 15 a x – 5 b x = 5 x (3a –
b).
• 6 a y – 2 b y = 2 y (3a – b).
On observe que (3a – b) est commun aux deux groupes. La somme s’écrit : 5 x (3a – b) + 2 y (3a – b) = (3a – b)(5x + 2y).
La forme simplifiée est donc : (3a – b)(5x + 2y).
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Exercice 6. Factoriser l’expression
3 a² x – 4 a² y² – 3 b x + 4 b y²
Regroupons les termes en rapprochant ceux qui portent des
facteurs semblables : • Groupe 1 : 3 a² x – 3 b x
• Groupe 2 : –4 a² y² + 4 b y².
Dans le premier groupe, x est facteur commun : 3 a² x – 3 b x = 3x (a² – b).
Dans le deuxième groupe, 4 y² est facteur commun (en tenant compte du signe négatif) : –4 a² y² + 4 b y² = –4 y² (a² – b).
On retrouve le facteur (a² – b) dans les deux groupes, que l’on factorise : 3x (a² – b) – 4y² (a² – b) = (a² – b)(3x – 4y²).
La factorisation complète est donc : (a² – b)(3x – 4y²).
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Récapitulatif des réponses :
Chaque étape a été détaillée afin de permettre une compréhension claire des raisonnements et des techniques de factorisation et de simplification.