Exercice 30

Factorisez chaque expression autant que possible :

1) \(a x + a y + b x + b y\)

2) \(a b + a c + b d + d c\)

3) \(a d + a c - b d - b c\)

4) \(21 x y - 3 x - 28 y + 4\)

5) \(7 a c + 21 a d - 2 b c - 6 b d\)

6) \(5 a x - 5 a y - b x + b y\)

Réponse

Voici les résultats factorisés des exercices :

• Exercice 289 : \((a + b)(x + y)\)
• Exercice 290 : \((b + c)(a + d)\)
• Exercice 291 : \((a - b)(c + d)\)
• Exercice 292 : \((3x - 4)(7y - 1)\)
• Exercice 293 : \((7a - 2b)(c + 3d)\)
• Exercice 294 : \((5a - b)(x - y)\)

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice 289

Expression à factoriser : \[ a x + a y + b x + b y \]

Étapes de factorisation :

1. Regrouper les termes similaires : \[ a x + a y + b x + b y = (a x + b x) + (a y + b y) \]

2. Factoriser par mise en évidence :

   • Dans \((a x + b x)\), on peut factoriser \(x\) : \[ a x + b x = x (a + b) \]
   • Dans \((a y + b y)\), on peut factoriser \(y\) : \[ a y + b y = y (a + b) \]

3. Mettre en évidence le facteur commun \((a + b)\) : \[ x (a + b) + y (a + b) = (a + b)(x + y) \]

Résultat factorisé : \[ (a + b)(x + y) \]

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Correction de l’exercice 290

Expression à factoriser : \[ a b + a c + b d + d c \]

Étapes de factorisation :

1. Regrouper les termes : \[ a b + a c + b d + d c = (a b + a c) + (b d + d c) \]

2. Factoriser par mise en évidence :

   • Dans \((a b + a c)\), factoriser \(a\) : \[ a b + a c = a (b + c) \]
   • Dans \((b d + d c)\), factoriser \(d\) : \[ b d + d c = d (b + c) \]

3. Mettre en évidence le facteur commun \((b + c)\) : \[ a (b + c) + d (b + c) = (b + c)(a + d) \]

Résultat factorisé : \[ (b + c)(a + d) \]

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Correction de l’exercice 291

Expression à factoriser : \[ a d + a c - b d - b c \]

Étapes de factorisation :

1. Regrouper les termes : \[ a d + a c - b d - b c = (a d + a c) - (b d + b c) \]

2. Factoriser par mise en évidence :

   • Dans \((a d + a c)\), factoriser \(a\) : \[ a d + a c = a (d + c) \]
   • Dans \((b d + b c)\), factoriser \(b\) : \[ b d + b c = b (d + c) \]

3. Mettre en évidence le facteur commun \((d + c)\) : \[ a (d + c) - b (d + c) = (a - b)(d + c) \]

Résultat factorisé : \[ (a - b)(c + d) \]

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Correction de l’exercice 292

Expression à factoriser : \[ 21 x y - 3 x - 28 y + 4 \]

Étapes de factorisation :

1. Réarranger les termes : \[ 21 x y - 3 x - 28 y + 4 = 21 x y - 28 y - 3 x + 4 \]

2. Regrouper les termes par paires : \[ (21 x y - 28 y) + (-3 x + 4) \]

3. Factoriser chaque paire :

   • Dans \((21 x y - 28 y)\), factoriser \(7 y\) : \[ 21 x y - 28 y = 7 y (3 x - 4) \]
   • Dans \((-3 x + 4)\), on peut factoriser \(-1\) : \[ -3 x + 4 = -1 (3 x - 4) \]

4. Mettre en évidence le facteur commun \((3 x - 4)\) : \[ 7 y (3 x - 4) - 1 (3 x - 4) = (3 x - 4)(7 y - 1) \]

Résultat factorisé : \[ (3 x - 4)(7 y - 1) \]

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Correction de l’exercice 293

Expression à factoriser : \[ 7 a c + 21 a d - 2 b c - 6 b d \]

Étapes de factorisation :

1. Regrouper les termes : \[ 7 a c + 21 a d - 2 b c - 6 b d = (7 a c + 21 a d) + (-2 b c - 6 b d) \]

2. Factoriser par mise en évidence :

   • Dans \((7 a c + 21 a d)\), factoriser \(7 a\) : \[ 7 a c + 21 a d = 7 a (c + 3 d) \]
   • Dans \((-2 b c - 6 b d)\), factoriser \(-2 b\) : \[ -2 b c - 6 b d = -2 b (c + 3 d) \]

3. Mettre en évidence le facteur commun \((c + 3 d)\) : \[ 7 a (c + 3 d) - 2 b (c + 3 d) = (c + 3 d)(7 a - 2 b) \]

Résultat factorisé : \[ (7 a - 2 b)(c + 3 d) \]

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Correction de l’exercice 294

Expression à factoriser : \[ 5 a x - 5 a y - b x + b y \]

Étapes de factorisation :

1. Regrouper les termes : \[ 5 a x - 5 a y - b x + b y = (5 a x - 5 a y) + (-b x + b y) \]

2. Factoriser par mise en évidence :

   • Dans \((5 a x - 5 a y)\), factoriser \(5 a\) : \[ 5 a x - 5 a y = 5 a (x - y) \]
   • Dans \((-b x + b y)\), factoriser \(b\) : \[ -b x + b y = b (-x + y) = b (y - x) = -b (x - y) \]

3. Mettre en évidence le facteur commun \((x - y)\) : \[ 5 a (x - y) - b (x - y) = (x - y)(5 a - b) \]

Résultat factorisé : \[ (5 a - b)(x - y) \]