Factorisez complètement les expressions suivantes :
\(2x^{2}(a - b) - 2y^{2}(a - b)\)
\((2x - y) - a^{4}(2x - y)\)
\(2xy(a^{2} - b^{2}) + y(b^{2} - a^{2})\)
\(3x^{2}y^{3}(x^{2} + 4) - (x^{2} + 4)12x^{2}y\)
\(y^{2}(a^{2} + b^{2}) + 16x^{4}(-a^{2} - b^{2})\)
\(25(x^{2} - 2xy + y^{2}) + a^{2}(2xy - x^{2} - y^{2})\)
Voici les réponses finales des exercices de factorisation :
\(2(a - b)(x - y)(x + y)\)
\((2x - y)(1 - a)(1 + a)(1 + a^{2})\)
\(y(a - b)(a + b)(2x - 1)\)
\(3x^{2}y(x^{2} + 4)(y - 2)(y + 2)\)
\((a^{2} + b^{2})(y - 4x^{2})(y + 4x^{2})\)
\((x - y)^{2}(5 - a)(5 + a)\)
Étape 1 : Identifier le facteur commun
Les deux termes contiennent le facteur \(2(a - b)\).
Étape 2 : Mettre le facteur commun en évidence
\[ 2x^{2}(a - b) - 2y^{2}(a - b) = 2(a - b)(x^{2} - y^{2}) \]
Étape 3 : Factoriser \(x^{2} - y^{2}\)
Nous reconnaissons que \(x^{2} - y^{2}\) est une différence de carrés, ce qui se factorise ainsi :
\[ x^{2} - y^{2} = (x - y)(x + y) \]
Étape 4 : Écrire la factorisation complète
\[ 2(a - b)(x - y)(x + y) \]
Réponse Finale :
\[ 2(a - b)(x - y)(x + y) \]
Étape 1 : Identifier le facteur commun
Les deux termes contiennent le facteur \((2x - y)\).
Étape 2 : Mettre le facteur commun en évidence
\[ (2x - y) - a^{4}(2x - y) = (2x - y)(1 - a^{4}) \]
Étape 3 : Factoriser \(1 - a^{4}\)
Nous reconnaissons que \(1 - a^{4}\) est une différence de carrés :
\[ 1 - a^{4} = (1 - a^{2})(1 + a^{2}) \]
De plus, \(1 - a^{2}\) peut être factorisé davantage :
\[ 1 - a^{2} = (1 - a)(1 + a) \]
Étape 4 : Écrire la factorisation complète
\[ (2x - y)(1 - a)(1 + a)(1 + a^{2}) \]
Réponse Finale :
\[ (2x - y)(1 - a)(1 + a)(1 + a^{2}) \]
Étape 1 : Réécrire les expressions pour mettre en évidence les signes
Notez que \(b^{2} - a^{2} = - (a^{2} - b^{2})\).
Ainsi,
\[ 2xy(a^{2} - b^{2}) + y(b^{2} - a^{2}) = 2xy(a^{2} - b^{2}) - y(a^{2} - b^{2}) \]
Étape 2 : Identifier le facteur commun
Le facteur commun est \(y(a^{2} - b^{2})\).
Étape 3 : Mettre le facteur commun en évidence
\[ y(a^{2} - b^{2})(2x - 1) \]
Étape 4 : Factoriser \(a^{2} - b^{2}\)
\[ a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b) \]
Étape 5 : Écrire la factorisation complète
\[ y(a - b)(a + b)(2x - 1) \]
Réponse Finale :
\[ y(a - b)(a + b)(2x - 1) \]
Étape 1 : Identifier le facteur commun
Les deux termes contiennent \((x^{2} + 4)\), \(x^{2}\), et \(y\).
Étape 2 : Mettre le facteur commun en évidence
\[ 3x^{2}y^{3}(x^{2} + 4) - 12x^{2}y(x^{2} + 4) = (x^{2} + 4) \cdot x^{2} \cdot y \cdot (3y^{2} - 12) \]
Étape 3 : Simplifier l’expression entre parenthèses
\[ 3y^{2} - 12 = 3(y^{2} - 4) \]
Étape 4 : Factoriser \(y^{2} - 4\)
\[ y^{2} - 4 = (y - 2)(y + 2) \]
Étape 5 : Écrire la factorisation complète
\[ 3x^{2}y(x^{2} + 4)(y - 2)(y + 2) \]
Réponse Finale :
\[ 3x^{2}y(x^{2} + 4)(y - 2)(y + 2) \]
Étape 1 : Simplifier l’expression
Distribuons le signe négatif dans le second terme :
\[ y^{2}(a^{2} + b^{2}) - 16x^{4}(a^{2} + b^{2}) \]
Étape 2 : Identifier le facteur commun
Le facteur commun est \((a^{2} + b^{2})\).
Étape 3 : Mettre le facteur commun en évidence
\[ (a^{2} + b^{2})(y^{2} - 16x^{4}) \]
Étape 4 : Factoriser \(y^{2} - 16x^{4}\)
Nous reconnaissons que \(16x^{4} = (4x^{2})^{2}\), donc :
\[ y^{2} - (4x^{2})^{2} = (y - 4x^{2})(y + 4x^{2}) \]
Étape 5 : Écrire la factorisation complète
\[ (a^{2} + b^{2})(y - 4x^{2})(y + 4x^{2}) \]
Réponse Finale :
\[ (a^{2} + b^{2})(y - 4x^{2})(y + 4x^{2}) \]
Étape 1 : Réécrire les termes
Réorganisons les termes pour faciliter la factorisation :
\[ 25(x^{2} - 2xy + y^{2}) + a^{2}(-x^{2} + 2xy - y^{2}) \]
Étape 2 : Identifier les termes similaires
Remarquons que \(x^{2} - 2xy + y^{2}\) est un carré parfait et que \(-x^{2} + 2xy - y^{2} = -(x^{2} - 2xy + y^{2})\).
Étape 3 : Mettre \(x^{2} - 2xy + y^{2}\) en évidence
\[ x^{2} - 2xy + y^{2} = (x - y)^{2} \]
Ainsi,
\[ 25(x - y)^{2} - a^{2}(x - y)^{2} = (x - y)^{2}(25 - a^{2}) \]
Étape 4 : Factoriser \(25 - a^{2}\)
\[ 25 - a^{2} = (5 - a)(5 + a) \]
Étape 5 : Écrire la factorisation complète
\[ (x - y)^{2}(5 - a)(5 + a) \]
Réponse Finale :
\[ (x - y)^{2}(5 - a)(5 + a) \]