Exercice 29

Factorisez complètement les expressions suivantes :

  1. \(2x^{2}(a - b) - 2y^{2}(a - b)\)

  2. \((2x - y) - a^{4}(2x - y)\)

  3. \(2xy(a^{2} - b^{2}) + y(b^{2} - a^{2})\)

  4. \(3x^{2}y^{3}(x^{2} + 4) - (x^{2} + 4)12x^{2}y\)

  5. \(y^{2}(a^{2} + b^{2}) + 16x^{4}(-a^{2} - b^{2})\)

  6. \(25(x^{2} - 2xy + y^{2}) + a^{2}(2xy - x^{2} - y^{2})\)

Réponse

Voici les réponses finales des exercices de factorisation :

  1. \(2(a - b)(x - y)(x + y)\)

  2. \((2x - y)(1 - a)(1 + a)(1 + a^{2})\)

  3. \(y(a - b)(a + b)(2x - 1)\)

  4. \(3x^{2}y(x^{2} + 4)(y - 2)(y + 2)\)

  5. \((a^{2} + b^{2})(y - 4x^{2})(y + 4x^{2})\)

  6. \((x - y)^{2}(5 - a)(5 + a)\)

Corrigé détaillé

Correction des Exercices de Factorisation

1. Factorisez complètement \(2x^{2}(a - b) - 2y^{2}(a - b)\)

Étape 1 : Identifier le facteur commun

Les deux termes contiennent le facteur \(2(a - b)\).

Étape 2 : Mettre le facteur commun en évidence

\[ 2x^{2}(a - b) - 2y^{2}(a - b) = 2(a - b)(x^{2} - y^{2}) \]

Étape 3 : Factoriser \(x^{2} - y^{2}\)

Nous reconnaissons que \(x^{2} - y^{2}\) est une différence de carrés, ce qui se factorise ainsi :

\[ x^{2} - y^{2} = (x - y)(x + y) \]

Étape 4 : Écrire la factorisation complète

\[ 2(a - b)(x - y)(x + y) \]

Réponse Finale :

\[ 2(a - b)(x - y)(x + y) \]


2. Factorisez complètement \((2x - y) - a^{4}(2x - y)\)

Étape 1 : Identifier le facteur commun

Les deux termes contiennent le facteur \((2x - y)\).

Étape 2 : Mettre le facteur commun en évidence

\[ (2x - y) - a^{4}(2x - y) = (2x - y)(1 - a^{4}) \]

Étape 3 : Factoriser \(1 - a^{4}\)

Nous reconnaissons que \(1 - a^{4}\) est une différence de carrés :

\[ 1 - a^{4} = (1 - a^{2})(1 + a^{2}) \]

De plus, \(1 - a^{2}\) peut être factorisé davantage :

\[ 1 - a^{2} = (1 - a)(1 + a) \]

Étape 4 : Écrire la factorisation complète

\[ (2x - y)(1 - a)(1 + a)(1 + a^{2}) \]

Réponse Finale :

\[ (2x - y)(1 - a)(1 + a)(1 + a^{2}) \]


3. Factorisez complètement \(2xy(a^{2} - b^{2}) + y(b^{2} - a^{2})\)

Étape 1 : Réécrire les expressions pour mettre en évidence les signes

Notez que \(b^{2} - a^{2} = - (a^{2} - b^{2})\).

Ainsi,

\[ 2xy(a^{2} - b^{2}) + y(b^{2} - a^{2}) = 2xy(a^{2} - b^{2}) - y(a^{2} - b^{2}) \]

Étape 2 : Identifier le facteur commun

Le facteur commun est \(y(a^{2} - b^{2})\).

Étape 3 : Mettre le facteur commun en évidence

\[ y(a^{2} - b^{2})(2x - 1) \]

Étape 4 : Factoriser \(a^{2} - b^{2}\)

\[ a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b) \]

Étape 5 : Écrire la factorisation complète

\[ y(a - b)(a + b)(2x - 1) \]

Réponse Finale :

\[ y(a - b)(a + b)(2x - 1) \]


4. Factorisez complètement \(3x^{2}y^{3}(x^{2} + 4) - (x^{2} + 4)12x^{2}y\)

Étape 1 : Identifier le facteur commun

Les deux termes contiennent \((x^{2} + 4)\), \(x^{2}\), et \(y\).

Étape 2 : Mettre le facteur commun en évidence

\[ 3x^{2}y^{3}(x^{2} + 4) - 12x^{2}y(x^{2} + 4) = (x^{2} + 4) \cdot x^{2} \cdot y \cdot (3y^{2} - 12) \]

Étape 3 : Simplifier l’expression entre parenthèses

\[ 3y^{2} - 12 = 3(y^{2} - 4) \]

Étape 4 : Factoriser \(y^{2} - 4\)

\[ y^{2} - 4 = (y - 2)(y + 2) \]

Étape 5 : Écrire la factorisation complète

\[ 3x^{2}y(x^{2} + 4)(y - 2)(y + 2) \]

Réponse Finale :

\[ 3x^{2}y(x^{2} + 4)(y - 2)(y + 2) \]


5. Factorisez complètement \(y^{2}(a^{2} + b^{2}) + 16x^{4}(-a^{2} - b^{2})\)

Étape 1 : Simplifier l’expression

Distribuons le signe négatif dans le second terme :

\[ y^{2}(a^{2} + b^{2}) - 16x^{4}(a^{2} + b^{2}) \]

Étape 2 : Identifier le facteur commun

Le facteur commun est \((a^{2} + b^{2})\).

Étape 3 : Mettre le facteur commun en évidence

\[ (a^{2} + b^{2})(y^{2} - 16x^{4}) \]

Étape 4 : Factoriser \(y^{2} - 16x^{4}\)

Nous reconnaissons que \(16x^{4} = (4x^{2})^{2}\), donc :

\[ y^{2} - (4x^{2})^{2} = (y - 4x^{2})(y + 4x^{2}) \]

Étape 5 : Écrire la factorisation complète

\[ (a^{2} + b^{2})(y - 4x^{2})(y + 4x^{2}) \]

Réponse Finale :

\[ (a^{2} + b^{2})(y - 4x^{2})(y + 4x^{2}) \]


6. Factorisez complètement \(25(x^{2} - 2xy + y^{2}) + a^{2}(2xy - x^{2} - y^{2})\)

Étape 1 : Réécrire les termes

Réorganisons les termes pour faciliter la factorisation :

\[ 25(x^{2} - 2xy + y^{2}) + a^{2}(-x^{2} + 2xy - y^{2}) \]

Étape 2 : Identifier les termes similaires

Remarquons que \(x^{2} - 2xy + y^{2}\) est un carré parfait et que \(-x^{2} + 2xy - y^{2} = -(x^{2} - 2xy + y^{2})\).

Étape 3 : Mettre \(x^{2} - 2xy + y^{2}\) en évidence

\[ x^{2} - 2xy + y^{2} = (x - y)^{2} \]

Ainsi,

\[ 25(x - y)^{2} - a^{2}(x - y)^{2} = (x - y)^{2}(25 - a^{2}) \]

Étape 4 : Factoriser \(25 - a^{2}\)

\[ 25 - a^{2} = (5 - a)(5 + a) \]

Étape 5 : Écrire la factorisation complète

\[ (x - y)^{2}(5 - a)(5 + a) \]

Réponse Finale :

\[ (x - y)^{2}(5 - a)(5 + a) \]

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