Exercice 28

Factorisez les expressions suivantes autant que possible :

1. \(3(x - 1) - x(1 - x)\)
   
2. \(a(2x - y) + b(y - 2x)\)
   
3. \(3(a - b) - y(b - a)\)
   
4. \(2(x + 3) - a(-x - 3)\)
   
5. \(x^{2}(-b + a) - y(a - b)\)
   
6. \(2x(3a - b) + y(-b + 3a)\)

Réponse

Résumé des factorisations :

1. \(3(x - 1) - x(1 - x) = (x + 3)(x - 1)\)
2. \(a(2x - y) + b(y - 2x) = (2x - y)(a - b)\)
3. \(3(a - b) - y(b - a) = (a - b)(3 + y)\)
4. \(2(x + 3) - a(-x - 3) = (2 + a)(x + 3)\)
5. \(x^{2}(-b + a) - y(a - b) = (a - b)(x^{2} - y)\)
6. \(2x(3a - b) + y(-b + 3a) = (3a - b)(2x + y)\)

Corrigé détaillé

Correction :

1. Factorisation de \(3(x - 1) - x(1 - x)\)

   Étape 1 : Développer les expressions

   \[ 3(x - 1) = 3x - 3 \] \[ -x(1 - x) = -x + x^{2} \]

   Étape 2 : Combiner les termes développés

   \[ 3x - 3 - x + x^{2} = x^{2} + (3x - x) - 3 = x^{2} + 2x - 3 \]

   Étape 3 : Factoriser le trinôme \(x^{2} + 2x - 3\)

   Nous cherchons deux nombres dont le produit est \(-3\) et la somme est \(2\).

   Ces nombres sont \(3\) et \(-1\).

   Donc,

   \[ x^{2} + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1) \]

   Résultat final :

   \[ 3(x - 1) - x(1 - x) = (x + 3)(x - 1) \]

2. Factorisation de \(a(2x - y) + b(y - 2x)\)

   Étape 1 : Réécrire les termes

   Observons que \(y - 2x = -(2x - y)\).

   Donc,

   \[ a(2x - y) + b(y - 2x) = a(2x - y) - b(2x - y) \]

   Étape 2 : Mettre au facteur commun \((2x - y)\)

   \[ a(2x - y) - b(2x - y) = (2x - y)(a - b) \]

   Résultat final :

   \[ a(2x - y) + b(y - 2x) = (2x - y)(a - b) \]

3. Factorisation de \(3(a - b) - y(b - a)\)

   Étape 1 : Réécrire \(b - a\)

   Notons que \(b - a = -(a - b)\).

   Donc,

   \[ 3(a - b) - y(b - a) = 3(a - b) + y(a - b) \]

   Étape 2 : Mettre au facteur commun \((a - b)\)

   \[ 3(a - b) + y(a - b) = (a - b)(3 + y) \]

   Résultat final :

   \[ 3(a - b) - y(b - a) = (a - b)(3 + y) \]

4. Factorisation de \(2(x + 3) - a(-x - 3)\)

   Étape 1 : Développer les expressions

   \[ 2(x + 3) = 2x + 6 \] \[ -a(-x - 3) = a(x + 3) \]

   Étape 2 : Combiner les termes développés

   \[ 2x + 6 + a(x + 3) = 2x + 6 + a x + 3a \]

   Étape 3 : Regrouper les termes semblables

   \[ (2x + a x) + (6 + 3a) = x(2 + a) + 3(2 + a) \]

   Étape 4 : Mettre au facteur commun \((2 + a)\)

   \[ x(2 + a) + 3(2 + a) = (2 + a)(x + 3) \]

   Résultat final :

   \[ 2(x + 3) - a(-x - 3) = (2 + a)(x + 3) \]

5. Factorisation de \(x^{2}(-b + a) - y(a - b)\)

   Étape 1 : Réécrire les expressions

   Notons que \(-b + a = a - b\), donc :

   \[ x^{2}(a - b) - y(a - b) \]

   Étape 2 : Mettre au facteur commun \((a - b)\)

   \[ x^{2}(a - b) - y(a - b) = (a - b)(x^{2} - y) \]

   Résultat final :

   \[ x^{2}(-b + a) - y(a - b) = (a - b)(x^{2} - y) \]

6. Factorisation de \(2x(3a - b) + y(-b + 3a)\)

   Étape 1 : Réécrire les expressions

   Notons que \(-b + 3a = 3a - b\), donc :

   \[ 2x(3a - b) + y(3a - b) \]

   Étape 2 : Mettre au facteur commun \((3a - b)\)

   \[ 2x(3a - b) + y(3a - b) = (3a - b)(2x + y) \]

   Résultat final :

   \[ 2x(3a - b) + y(-b + 3a) = (3a - b)(2x + y) \]