Effectuez les divisions suivantes et simplifiez les résultats autant que possible :
\(\frac{a^{2} - b^{2}}{(2 a b)^{2}} \div \frac{a + b}{2 a}\)
\(\frac{a + 1}{a - 1} \div \frac{a^{2} + 2 a + 1}{a^{2} - 2 a + 1}\)
\(\frac{9 x^{2} - y^{4}}{a^{2} - a b} \div \frac{3 x + y^{2}}{a^{3} b - a^{4}}\)
\(\frac{a^{2} + a - 2}{a^{2} + 2 a - 15} \div \frac{a^{2} + 7 a + 10}{a^{2} + 10 a + 25}\)
\(\frac{x^{3} - 12 x^{2} y + 36 x y^{2}}{x^{3} - 25 x y^{2}} \div \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} y}{x^{2} - 10 x y + 25 y^{2}}\)
\(\frac{6 x - 21}{2 + 5 b} \div \frac{12 a^{2} x - 42 a^{2}}{25 b^{2} - 4}\)
Résumé des résultats :
Exercice 1 :
Effectuons la division suivante et simplifions le résultat autant que possible :
\[ \frac{a^{2} - b^{2}}{(2 a b)^{2}} \div \frac{a + b}{2 a} \]
Étape 1 : Réécrire la division comme une multiplication par l’inverse
Diviser par une fraction équivaut à multiplier par son inverse. Ainsi :
\[ \frac{a^{2} - b^{2}}{(2 a b)^{2}} \times \frac{2 a}{a + b} \]
Étape 2 : Factoriser le numérateur du premier terme
Le numérateur \(a^{2} - b^{2}\) est une différence de carrés, que l’on peut factoriser :
\[ a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b) \]
Donc, l’expression devient :
\[ \frac{(a + b)(a - b)}{(2 a b)^{2}} \times \frac{2 a}{a + b} \]
Étape 3 : Simplifier les termes communs
Le facteur \((a + b)\) apparaît au numérateur et au dénominateur, nous pouvons donc le simplifier :
\[ \frac{(a - b)}{(2 a b)^{2}} \times 2 a \]
Étape 4 : Calculer \((2 a b)^{2}\)
\[ (2 a b)^{2} = 4 a^{2} b^{2} \]
Ainsi, l’expression devient :
\[ \frac{(a - b)}{4 a^{2} b^{2}} \times 2 a \]
Étape 5 : Multiplier les fractions
Multipliant les numérateurs ensemble et les dénominateurs ensemble :
\[ \frac{2 a (a - b)}{4 a^{2} b^{2}} \]
Étape 6 : Simplifier les coefficients et les puissances
Simplifions le coefficient \(\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\) et réduisons les puissances de \(a\) :
\[ \frac{a - b}{2 a b^{2}} \]
Résultat final :
\[ \frac{a - b}{2 a b^{2}} \]
Exercice 2 :
Effectuons la division suivante et simplifions le résultat autant que possible :
\[ \frac{a + 1}{a - 1} \div \frac{a^{2} + 2 a + 1}{a^{2} - 2 a + 1} \]
Étape 1 : Réécrire la division comme une multiplication par l’inverse
\[ \frac{a + 1}{a - 1} \times \frac{a^{2} - 2 a + 1}{a^{2} + 2 a + 1} \]
Étape 2 : Factoriser les polynômes
Les trois termes peuvent être factorisés :
Ainsi, l’expression devient :
\[ \frac{a + 1}{a - 1} \times \frac{(a - 1)^{2}}{(a + 1)^{2}} \]
Étape 3 : Simplifier les termes communs
Un facteur \((a + 1)\) et un facteur \((a - 1)\) se simplifient :
\[ \frac{1}{1} \times \frac{a - 1}{a + 1} = \frac{a - 1}{a + 1} \]
Résultat final :
\[ \frac{a - 1}{a + 1} \]
Exercice 3 :
Effectuons la division suivante et simplifions le résultat autant que possible :
\[ \frac{9 x^{2} - y^{4}}{a^{2} - a b} \div \frac{3 x + y^{2}}{a^{3} b - a^{4}} \]
Étape 1 : Réécrire la division comme une multiplication par l’inverse
\[ \frac{9 x^{2} - y^{4}}{a^{2} - a b} \times \frac{a^{3} b - a^{4}}{3 x + y^{2}} \]
Étape 2 : Factoriser les polynômes
Ainsi, l’expression devient :
\[ \frac{(3x + y^{2})(3x - y^{2})}{a(a - b)} \times \frac{-a^{3}(a - b)}{3x + y^{2}} \]
Étape 3 : Simplifier les termes communs
Les facteurs \((3x + y^{2})\) et \((a - b)\) se simplifient :
\[ \frac{(3x - y^{2})}{a} \times \frac{-a^{3}}{1} = -a^{2}(3x - y^{2}) \]
Résultat final :
\[ - a^{2}(3x - y^{2}) \]
Exercice 4 :
Effectuons la division suivante et simplifions le résultat autant que possible :
\[ \frac{a^{2} + a - 2}{a^{2} + 2 a - 15} \div \frac{a^{2} + 7 a + 10}{a^{2} + 10 a + 25} \]
Étape 1 : Réécrire la division comme une multiplication par l’inverse
\[ \frac{a^{2} + a - 2}{a^{2} + 2 a - 15} \times \frac{a^{2} + 10 a + 25}{a^{2} + 7 a + 10} \]
Étape 2 : Factoriser les polynômes
Ainsi, l’expression devient :
\[ \frac{(a + 2)(a - 1)}{(a + 5)(a - 3)} \times \frac{(a + 5)^{2}}{(a + 2)(a + 5)} \]
Étape 3 : Simplifier les termes communs
Les facteurs \((a + 2)\) et \((a + 5)\) se simplifient :
\[ \frac{(a - 1)}{(a - 3)} \times \frac{a + 5}{1} = \frac{(a - 1)(a + 5)}{a - 3} \]
Résultat final :
\[ \frac{(a - 1)(a + 5)}{a - 3} \]
Exercice 5 :
Effectuons la division suivante et simplifions le résultat autant que possible :
\[ \frac{x^{3} - 12 x^{2} y + 36 x y^{2}}{x^{3} - 25 x y^{2}} \div \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} y}{x^{2} - 10 x y + 25 y^{2}} \]
Étape 1 : Réécrire la division comme une multiplication par l’inverse
\[ \frac{x^{3} - 12 x^{2} y + 36 x y^{2}}{x^{3} - 25 x y^{2}} \times \frac{x^{2} - 10 x y + 25 y^{2}}{2 x^{3} - 12 x^{2} y} \]
Étape 2 : Factoriser les polynômes
Ainsi, l’expression devient :
\[ \frac{x (x - 6 y)^{2}}{x (x - 5 y)(x + 5 y)} \times \frac{(x - 5 y)^{2}}{2 x^{2} (x - 6 y)} \]
Étape 3 : Simplifier les termes communs
Les facteurs \(x\), \((x - 6 y)\), et \((x - 5 y)\) se simplifient :
\[ \frac{(x - 6 y)}{(x + 5 y)} \times \frac{(x - 5 y)}{2 x^{2}} = \frac{(x - 6 y)(x - 5 y)}{2 x^{2} (x + 5 y)} \]
Résultat final :
\[ \frac{(x - 6 y)(x - 5 y)}{2 x^{2} (x + 5 y)} \]
Exercice 6 :
Effectuons la division suivante et simplifions le résultat autant que possible :
\[ \frac{6 x - 21}{2 + 5 b} \div \frac{12 a^{2} x - 42 a^{2}}{25 b^{2} - 4} \]
Étape 1 : Réécrire la division comme une multiplication par l’inverse
\[ \frac{6 x - 21}{2 + 5 b} \times \frac{25 b^{2} - 4}{12 a^{2} x - 42 a^{2}} \]
Étape 2 : Factoriser les polynômes
Ainsi, l’expression devient :
\[ \frac{3(2x - 7)}{2 + 5 b} \times \frac{(5b - 2)(5b + 2)}{6 a^{2} (2x - 7)} \]
Étape 3 : Simplifier les termes communs
Le facteur \((2x - 7)\) se simplifie et \(3\) divisé par \(6\) donne \(\frac{1}{2}\) :
\[ \frac{1}{2} \times \frac{(5b - 2)(5b + 2)}{a^{2} (2 + 5 b)} \]
Remarquons que \(2 + 5b = 5b + 2\), donc :
\[ \frac{1}{2} \times \frac{(5b - 2)(5b + 2)}{a^{2} (5b + 2)} = \frac{5b - 2}{2 a^{2}} \]
Résultat final :
\[ \frac{5b - 2}{2 a^{2}} \]