Exercice 24

Factoriser le numérateur ou le dénominateur, puis simplifier les facteurs communs :

\(\dfrac{a^{3} + 3a^{2}}{9a - a^{3}}\)
\(\dfrac{2x^{2} - 16x + 32}{8 - 2x}\)
\(\dfrac{8x^{3}y - 18xy}{12xy^{2} - 8x^{2}y^{2}}\)
\(\dfrac{a^{4} + a^{2} - 2}{(a + 1) \cdot (4 - a^{4})}\)
\(\dfrac{4x^{4}y + 4x^{3}y^{2} + x^{2}y^{3}}{4x^{3}y^{2} - xy^{4}}\)
\(\dfrac{2x^{4} + 6x^{2} + 4}{x^{4} \cdot (x^{2} + 1) - 4 \cdot (x^{2} + 1)}\)

Réponse

Voici les réponses simplifiées :

\(\dfrac{a}{3 - a}\)
\(4 - x\)
\(-\dfrac{2x + 3}{2y}\)
\(\dfrac{1 - a}{a^{2} - 2}\)
\(\dfrac{x(2x + y)}{y(2x - y)}\)
\(\dfrac{2}{x^{2} - 2}\)

Corrigé détaillé

Exercice 1

Question : Factoriser le numérateur ou le dénominateur, puis simplifier les facteurs communs :

\[ \frac{a^{3} + 3a^{2}}{9a - a^{3}} \]

Correction :

Factorisation du numérateur \(a^{3} + 3a^{2}\) :

\[ a^{3} + 3a^{2} = a^{2}(a + 3) \]
Factorisation du dénominateur \(9a - a^{3}\) :

\[ 9a - a^{3} = -a^{3} + 9a = -a(a^{2} - 9) = -a(a - 3)(a + 3) \]

(On a utilisé la différence de carrés \(a^{2} - 9 = (a - 3)(a + 3)\))
Écriture de la fraction avec les facteurs factorisés :

\[ \frac{a^{2}(a + 3)}{-a(a - 3)(a + 3)} \]
Simplification des facteurs communs :
- \(a\) dans le numérateur et le dénominateur se simplifie : \[ \frac{a^{2}}{-a} = -a \]
- \((a + 3)\) est un facteur commun et se simplifie également.
Résultat simplifié :

\[ \frac{-a}{(a - 3)} \quad \text{ou} \quad \frac{a}{3 - a} \]

(On peut retirer le signe négatif en inversant \((a - 3)\) en \((3 - a)\))

Exercice 2

Question : Factoriser le numérateur ou le dénominateur, puis simplifier les facteurs communs :

\[ \frac{2x^{2} - 16x + 32}{8 - 2x} \]

Correction :

Factorisation du numérateur \(2x^{2} - 16x + 32\) :

\[ 2x^{2} - 16x + 32 = 2(x^{2} - 8x + 16) \]

Le trinôme \(x^{2} - 8x + 16\) est un carré parfait :

\[ x^{2} - 8x + 16 = (x - 4)^{2} \]

Donc :

\[ 2x^{2} - 16x + 32 = 2(x - 4)^{2} \]
Factorisation du dénominateur \(8 - 2x\) :

\[ 8 - 2x = -2x + 8 = -2(x - 4) \]
Écriture de la fraction avec les facteurs factorisés :

\[ \frac{2(x - 4)^{2}}{-2(x - 4)} \]
Simplification des facteurs communs :
- Le facteur \(2\) au numérateur et \(-2\) au dénominateur se simplifient : \[ \frac{2}{-2} = -1 \]
- \((x - 4)^{2}\) au numérateur et \((x - 4)\) au dénominateur se simplifient en \((x - 4)\).
Résultat simplifié :

\[ - (x - 4) \quad \text{ou} \quad 4 - x \]

Exercice 3

Question : Factoriser le numérateur ou le dénominateur, puis simplifier les facteurs communs :

\[ \frac{8x^{3}y - 18xy}{12xy^{2} - 8x^{2}y^{2}} \]

Correction :

Factorisation du numérateur \(8x^{3}y - 18xy\) :

\[ 8x^{3}y - 18xy = 2xy(4x^{2} - 9) \]

(On a factorisé par \(2xy\))

De plus, \(4x^{2} - 9\) est une différence de carrés :

\[ 4x^{2} - 9 = (2x - 3)(2x + 3) \]

Donc :

\[ 8x^{3}y - 18xy = 2xy(2x - 3)(2x + 3) \]
Factorisation du dénominateur \(12xy^{2} - 8x^{2}y^{2}\) :

\[ 12xy^{2} - 8x^{2}y^{2} = 4x y^{2}(3 - 2x) \]

(On a factorisé par \(4x y^{2}\))
Écriture de la fraction avec les facteurs factorisés :

\[ \frac{2xy(2x - 3)(2x + 3)}{4x y^{2}(3 - 2x)} \]
Simplification des facteurs communs :
- \(2xy\) et \(4x y^{2}\) : \[ \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad \frac{x}{x} = 1, \quad \frac{y}{y^{2}} = \frac{1}{y} \]
- \((2x - 3)\) et \((3 - 2x)\) : \[ (2x - 3) = -1(3 - 2x) \]
Application de la simplification :

\[ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{(2x - 3)(2x + 3)}{(3 - 2x)} = \frac{1}{2y} \cdot (2x + 3) \cdot (-1) \]

Donc :

\[ -\frac{2x + 3}{2y} \]

Exercice 4

Question : Factoriser le numérateur ou le dénominateur, puis simplifier les facteurs communs :

\[ \frac{a^{4} + a^{2} - 2}{(a + 1) \cdot (4 - a^{4})} \]

Correction :

Factorisation du numérateur \(a^{4} + a^{2} - 2\) :

Posons \(b = a^{2}\), alors l’expression devient :

\[ b^{2} + b - 2 = (b + 2)(b - 1) = (a^{2} + 2)(a^{2} - 1) \]

De plus, \(a^{2} - 1\) est une différence de carrés :

\[ a^{2} - 1 = (a - 1)(a + 1) \]

Donc :

\[ a^{4} + a^{2} - 2 = (a^{2} + 2)(a - 1)(a + 1) \]
Factorisation du dénominateur \((a + 1)(4 - a^{4})\) :

Observons \(4 - a^{4}\) :

\[ 4 - a^{4} = (2)^{2} - (a^{2})^{2} = (2 - a^{2})(2 + a^{2}) = (2 - a)(2 + a)(2^{0.5} + a^{0.5})(2^{0.5} - a^{0.5}) \]

Toutefois, pour simplifier, on reconnaît que :

\[ 4 - a^{4} = (2 - a^{2})(2 + a^{2}) = ( \sqrt{2} - a )( \sqrt{2} + a )(2 + a^{2}) \]

Mais une meilleure factorisation en utilisant les différences de carrés :

\[ 4 - a^{4} = (2^{2} - (a^{2})^{2}) = (2 - a^{2})(2 + a^{2}) = ( \sqrt{2} - a )( \sqrt{2} + a )(2 + a^{2}) \]

Pour simplifier, nous conservons :

\[ 4 - a^{4} = (2 - a^{2})(2 + a^{2}) \]

Donc :

\[ (a + 1)(4 - a^{4}) = (a + 1)(2 - a^{2})(2 + a^{2}) \]
Écriture de la fraction avec les facteurs factorisés :

\[ \frac{(a^{2} + 2)(a - 1)(a + 1)}{(a + 1)(2 - a^{2})(2 + a^{2})} \]
Simplification des facteurs communs :
- \((a + 1)\) est un facteur commun et se simplifie.
- \(a^{2} + 2\) et \(2 + a^{2}\) sont identiques, donc se simplifient.
Résultat simplifié :

\[ \frac{(a - 1)}{(2 - a^{2})} \]

On peut également réécrire \(2 - a^{2}\) comme \(-(a^{2} - 2)\), donc :

\[ \frac{-(a - 1)}{a^{2} - 2} \quad \text{ou} \quad \frac{1 - a}{a^{2} - 2} \]

Exercice 5

Question : Factoriser le numérateur ou le dénominateur, puis simplifier les facteurs communs :

\[ \frac{4x^{4}y + 4x^{3}y^{2} + x^{2}y^{3}}{4x^{3}y^{2} - xy^{4}} \]

Correction :

Factorisation du numérateur \(4x^{4}y + 4x^{3}y^{2} + x^{2}y^{3}\) :

\[ 4x^{4}y + 4x^{3}y^{2} + x^{2}y^{3} = x^{2}y (4x^{2} + 4x y + y^{2}) \]

Observons que \(4x^{2} + 4x y + y^{2}\) est un trinôme du type \((2x + y)^{2}\) :

\[ (2x + y)^{2} = 4x^{2} + 4x y + y^{2} \]

Donc :

\[ 4x^{4}y + 4x^{3}y^{2} + x^{2}y^{3} = x^{2}y (2x + y)^{2} \]
Factorisation du dénominateur \(4x^{3}y^{2} - x y^{4}\) :

\[ 4x^{3}y^{2} - x y^{4} = x y^{2} (4x^{2} - y^{2}) \]

\(4x^{2} - y^{2}\) est une différence de carrés :

\[ 4x^{2} - y^{2} = (2x - y)(2x + y) \]

Donc :

\[ 4x^{3}y^{2} - x y^{4} = x y^{2} (2x - y)(2x + y) \]
Écriture de la fraction avec les facteurs factorisés :

\[ \frac{x^{2}y (2x + y)^{2}}{x y^{2} (2x - y)(2x + y)} \]
Simplification des facteurs communs :
- \(x\) dans le numérateur et le dénominateur se simplifie : \[ \frac{x^{2}}{x} = x \]
- \(y\) dans le numérateur et le dénominateur se simplifie : \[ \frac{y}{y^{2}} = \frac{1}{y} \]
- \((2x + y)\) est un facteur commun et se simplifie.
Résultat simplifié :

\[ \frac{x (2x + y)}{y (2x - y)} \]

Exercice 6

Question : Factoriser le numérateur ou le dénominateur, puis simplifier les facteurs communs :

\[ \frac{2x^{4} + 6x^{2} + 4}{x^{4} \cdot (x^{2} + 1) - 4 \cdot (x^{2} + 1)} \]

Correction :

Factorisation du numérateur \(2x^{4} + 6x^{2} + 4\) :

\[ 2x^{4} + 6x^{2} + 4 = 2(x^{4} + 3x^{2} + 2) \]

Factorisons le trinôme \(x^{4} + 3x^{2} + 2\) en posant \(b = x^{2}\) :

\[ b^{2} + 3b + 2 = (b + 1)(b + 2) = (x^{2} + 1)(x^{2} + 2) \]

Donc :

\[ 2x^{4} + 6x^{2} + 4 = 2(x^{2} + 1)(x^{2} + 2) \]
Factorisation du dénominateur \(x^{4}(x^{2} + 1) - 4(x^{2} + 1)\) :

\[ x^{4}(x^{2} + 1) - 4(x^{2} + 1) = (x^{2} + 1)(x^{4} - 4) \]

Factorisons \(x^{4} - 4\) comme une différence de carrés :

\[ x^{4} - 4 = (x^{2})^{2} - 2^{2} = (x^{2} - 2)(x^{2} + 2) \]

Donc :

\[ x^{4}(x^{2} + 1) - 4(x^{2} + 1) = (x^{2} + 1)(x^{2} - 2)(x^{2} + 2) \]
Écriture de la fraction avec les facteurs factorisés :

\[ \frac{2(x^{2} + 1)(x^{2} + 2)}{(x^{2} + 1)(x^{2} - 2)(x^{2} + 2)} \]
Simplification des facteurs communs :
- \((x^{2} + 1)\) et \((x^{2} + 2)\) sont des facteurs communs et se simplifient.
Résultat simplifié :

\[ \frac{2}{x^{2} - 2} \]

On peut également écrire \(x^{2} - 2\) comme \((x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})\) si nécessaire.

Exercices 234 à 236

(Les énoncés des exercices 234 à 236 n’ont pas été fournis. Merci de les fournir pour une correction détaillée.)