Simplifiez l’expression \(\frac{4 x^{2} - 9 y^{2}}{12 x^{2} y + 18 x y^{2}}\)
Simplifiez l’expression \(\frac{3 y - 27}{9 - y}\)
Simplifiez l’expression \(\frac{1 - 4 a^{2}}{4 a^{2} - 4 a + 1}\)
Simplifiez l’expression \(\frac{4 x^{2} - 4 x + 1}{2 x - 4 x^{2}}\)
Simplifiez l’expression \(\frac{x^{2} y^{2} + 9 - 6 x y}{x^{2} y^{2} - 4 x y + 3}\)
Simplifiez l’expression \(\frac{x^{2} - 7 x + 12}{-x^{2} + 8 x - 16}\)
Les expressions simplifiées sont :
Simplifiez l’expression
\[
\frac{4 x^{2} - 9 y^{2}}{12 x^{2} y + 18 x y^{2}}
\]
Étape 1 : Factoriser le numérateur et le dénominateur
Numérateur :
\(4 x^{2} - 9 y^{2}\) est une
différence de carrés.
\[
4 x^{2} - 9 y^{2} = (2x)^{2} - (3y)^{2} = (2x - 3y)(2x + 3y)
\]
Dénominateur :
\(12 x^{2} y + 18 x y^{2}\) peut être
factorisé en mettant \(6xy\) en
évidence.
\[
12 x^{2} y + 18 x y^{2} = 6xy(2x) + 6xy(3y) = 6xy(2x + 3y)
\]
Étape 2 : Simplifier l’expression
Maintenant, substituons les facteurs factorisés dans l’expression
initiale :
\[
\frac{(2x - 3y)(2x + 3y)}{6xy(2x + 3y)}
\]
On remarque que \((2x + 3y)\) est
présent au numérateur et au dénominateur. On peut donc simplifier en
annulant ce facteur commun :
\[
\frac{2x - 3y}{6xy}
\]
Étape 3 : Résultat final
L’expression simplifiée est :
\[
\frac{2x - 3y}{6xy}
\]
Simplifiez l’expression
\[
\frac{3 y - 27}{9 - y}
\]
Étape 1 : Factoriser le numérateur et le dénominateur
Numérateur :
\(3y - 27\) peut être factorisé en
mettant \(3\) en évidence.
\[
3y - 27 = 3(y - 9)
\]
Dénominateur :
\(9 - y\) peut être réécrit comme \(-(y - 9)\).
\[
9 - y = -(y - 9)
\]
Étape 2 : Simplifier l’expression
Substituons les facteurs factorisés dans l’expression initiale
:
\[
\frac{3(y - 9)}{-(y - 9)} = \frac{3}{-1} = -3
\]
Étape 3 : Résultat final
L’expression simplifiée est :
\[
-3
\]
Simplifiez l’expression
\[
\frac{1 - 4 a^{2}}{4 a^{2} - 4 a + 1}
\]
Étape 1 : Reconnaître les identités remarquables
Numérateur :
\(1 - 4a^{2}\) est une différence de
carrés.
\[
1 - 4a^{2} = (1)^2 - (2a)^2 = (1 - 2a)(1 + 2a)
\]
Dénominateur :
\(4a^{2} - 4a + 1\) est un carré
parfait.
\[
4a^{2} - 4a + 1 = (2a - 1)^2 = (2a - 1)(2a - 1)
\]
Étape 2 : Simplifier l’expression
Substituons les facteurs factorisés dans l’expression initiale
:
\[
\frac{(1 - 2a)(1 + 2a)}{(2a - 1)(2a - 1)}
\]
On remarque que \(1 - 2a = -(2a -
1)\). Ainsi :
\[
\frac{-(2a - 1)(1 + 2a)}{(2a - 1)(2a - 1)} = \frac{-(1 + 2a)}{2a - 1}
\]
Étape 3 : Résultat final
L’expression simplifiée est :
\[
\frac{-(1 + 2a)}{2a - 1} \quad \text{ou} \quad \frac{2a + 1}{1 - 2a}
\]
Simplifiez l’expression
\[
\frac{4 x^{2} - 4 x + 1}{2 x - 4 x^{2}}
\]
Étape 1 : Factoriser le numérateur et le dénominateur
Numérateur :
\(4x^{2} - 4x + 1\) est un carré
parfait.
\[
4x^{2} - 4x + 1 = (2x - 1)^2 = (2x - 1)(2x - 1)
\]
Dénominateur :
\(2x - 4x^{2}\) peut être factorisé en
mettant \(-2x\) en évidence.
\[
2x - 4x^{2} = -2x(2x - 1)
\]
Étape 2 : Simplifier l’expression
Substituons les facteurs factorisés dans l’expression initiale
:
\[
\frac{(2x - 1)(2x - 1)}{-2x(2x - 1)} = \frac{(2x - 1)}{-2x} = -\frac{2x
- 1}{2x}
\]
Étape 3 : Résultat final
L’expression simplifiée est :
\[
-\frac{2x - 1}{2x} \quad \text{ou} \quad \frac{1 - 2x}{2x}
\]
Simplifiez l’expression
\[
\frac{x^{2} y^{2} + 9 - 6 x y}{x^{2} y^{2} - 4 x y + 3}
\]
Étape 1 : Factoriser le numérateur et le dénominateur
Numérateur :
\(x^{2} y^{2} - 6xy + 9\) peut être
réorganisé comme \(x^{2} y^{2} - 6xy +
9\).
Reconnaissant un carré parfait :
\[
x^{2} y^{2} - 6xy + 9 = (xy - 3)^2 = (xy - 3)(xy - 3)
\]
Dénominateur :
\(x^{2} y^{2} - 4xy + 3\) peut être
factorisé en cherchant deux nombres dont le produit est \(x^{2} y^{2} \times 3 = 3x^{2} y^{2}\) et la
somme est \(-4xy\).
\[
x^{2} y^{2} - 4xy + 3 = (xy - 1)(xy - 3)
\]
Étape 2 : Simplifier l’expression
Substituons les facteurs factorisés dans l’expression initiale
:
\[
\frac{(xy - 3)(xy - 3)}{(xy - 1)(xy - 3)}
\]
On peut annuler un \((xy - 3)\) au
numérateur et au dénominateur :
\[
\frac{xy - 3}{xy - 1}
\]
Étape 3 : Résultat final
L’expression simplifiée est :
\[
\frac{xy - 3}{xy - 1}
\]
Simplifiez l’expression
\[
\frac{x^{2} - 7 x + 12}{-x^{2} + 8 x - 16}
\]
Étape 1 : Factoriser le numérateur et le dénominateur
Numérateur :
\(x^{2} - 7x + 12\) peut être factorisé
en cherchant deux nombres dont le produit est \(12\) et la somme est \(-7\).
Ces nombres sont \(-3\) et \(-4\).
\[
x^{2} - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)
\]
Dénominateur :
\(-x^{2} + 8x - 16\) peut être
factorisé en mettant \(-1\) en évidence
:
\[
-x^{2} + 8x - 16 = - (x^{2} - 8x + 16)
\] \[
x^{2} - 8x + 16 = (x - 4)^2 = (x - 4)(x - 4)
\] Donc,
\[
-x^{2} + 8x - 16 = - (x - 4)(x - 4) = -(x - 4)^2
\]
Étape 2 : Simplifier l’expression
Substituons les facteurs factorisés dans l’expression initiale
:
\[
\frac{(x - 3)(x - 4)}{-(x - 4)(x - 4)}
\]
On peut annuler un \((x - 4)\) au
numérateur et au dénominateur :
\[
\frac{x - 3}{- (x - 4)} = -\frac{x - 3}{x - 4}
\]
Étape 3 : Résultat final
L’expression simplifiée est :
\[
-\frac{x - 3}{x - 4} \quad \text{ou} \quad \frac{3 - x}{x - 4}
\]