Simplifiez l’expression \(\frac{3a - 3b}{4b - 4a}\).
Simplifiez l’expression \(\frac{a^{3} \cdot (2x + y)^{3}}{(y + 2x)^{2} \cdot (2y + x) \cdot a}\).
Simplifiez l’expression \(\frac{2ax + 4bx}{6ay + 3by}\).
Simplifiez l’expression \(\frac{3xy - 6x^{2}y}{12xy - 6y}\).
Simplifiez l’expression \(\frac{8x^{3}y^{3} - 4x^{2}y^{4}}{-8x^{4}y^{3} + 16x^{5}y^{2}}\).
Simplifiez l’expression \(\frac{4ax^{3} + 8ax^{2} - 4ax}{6ax^{2} + 12ax - 6a}\).
Réponses simplifiées :
Nous allons traiter chacune des expressions une par une en expliquant toutes les étapes de simplification.
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Exercice 13)
Expression : (3a – 3b) / (4b – 4a)
Dans le numérateur, on remarque que 3 est un facteur commun
:
3a – 3b = 3·(a – b).
Dans le dénominateur, 4 est un facteur commun :
4b – 4a = 4·(b – a).
On reconnaît que (b – a) est l’opposé de (a – b) puisque
b – a = – (a – b).
On réécrit l’expression en remplaçant le dénominateur :
(3·(a – b)) / (4·(b – a)) = (3·(a – b)) / (4·[–(a – b)]).
Les facteurs (a – b) se simplifient (pour a ≠ b) :
= – 3/4.
La réponse simplifiée est donc : – 3/4.
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Exercice 14)
Expression : (a³ · (2x + y)³) / ((y + 2x)² · (2y + x) · a)
On remarque que (2x + y) et (y + 2x) sont identiques (l’ordre des
termes ne change pas la somme).
On peut donc remplacer (y + 2x) par (2x + y).
L’expression devient :
(a³ · (2x + y)³) / ((2x + y)² · (2y + x) · a).
On simplifie les puissances de (2x + y) :
(2x + y)³ / (2x + y)² = 2x + y.
On simplifie également la puissance de a en divisant a³ par a
:
a³ / a = a².
L’expression se transforme donc en :
a² · (2x + y) / (2y + x).
La réponse simplifiée est : a²(2x + y) / (2y + x).
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Exercice 15)
Expression : (2ax + 4bx) / (6ay + 3by)
Dans le numérateur, on peut factoriser x et le facteur commun aux
deux termes :
2ax + 4bx = 2x·a + 4x·b = 2x · (a + 2b).
Dans le dénominateur, on factorise y et le facteur commun :
6ay + 3by = 3y·(2a + b).
L’expression devient :
(2x · (a + 2b)) / (3y·(2a + b)).
Il n’y a pas de facteur commun entre (a + 2b) et (2a + b).
La réponse simplifiée est donc : (2x(a + 2b))/(3y(2a + b)).
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Exercice 16)
Expression : (3xy – 6x²y) / (12xy – 6y)
Dans le numérateur, factorisons xy commun et identifions le
facteur numérique :
3xy – 6x²y = 3xy(1 – 2x).
Dans le dénominateur, factorisons 6y commun :
12xy – 6y = 6y(2x – 1).
Remarquons que (1 – 2x) est l’opposé de (2x – 1) :
1 – 2x = – (2x – 1).
On écrit le numérateur :
3xy(1 – 2x) = 3xy·[–(2x – 1)] = – 3xy(2x – 1).
On place dans l’expression :
[– 3xy(2x – 1)] / [6y(2x – 1)].
On simplifie le facteur (2x – 1) et y (en supposant y ≠ 0)
:
= – (3x)/(6) = – x/2.
La réponse simplifiée est : – x/2.
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Exercice 17)
Expression : (8x³y³ – 4x²y⁴) / (–8x⁴y³ + 16x⁵y²)
Dans le numérateur, on factorise les termes communs :
On remarque que 4x²y³ est un facteur commun :
8x³y³ – 4x²y⁴ = 4x²y³(2x – y).
Dans le dénominateur, on factorise également les termes communs.
On peut extraire 8x⁴y² :
–8x⁴y³ + 16x⁵y² = 8x⁴y²(– y + 2x).
Remarquons que – y + 2x = 2x – y.
L’expression devient donc :
[4x²y³(2x – y)] / [8x⁴y²(2x – y)].
On simplifie le facteur (2x – y) (en supposant qu’il est non
nul), puis on simplifie les puissances de x et y :
x² / x⁴ = 1/x²,
y³ / y² = y,
et 4/8 = 1/2.
Ainsi, l’expression simplifiée est :
y/(2x²).
La réponse simplifiée est : y/(2x²).
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Exercice 18)
Expression : (4ax³ + 8ax² – 4ax) / (6ax² + 12ax – 6a)
Dans le numérateur, factorisons le facteur commun 4ax :
4ax³ + 8ax² – 4ax = 4ax (x² + 2x – 1).
Dans le dénominateur, factorisons le facteur commun 6a :
6ax² + 12ax – 6a = 6a (x² + 2x – 1).
Les facteurs (x² + 2x – 1) et a sont présents dans le numérateur
et le dénominateur (en supposant x² + 2x – 1 ≠ 0 et a ≠ 0), ils se
simplifient :
L’expression devient (4x)/(6).
Enfin, on simplifie la fraction 4/6 en divisant par 2 :
4/6 = 2/3.
La réponse simplifiée est : (2x)/3.
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Récapitulatif des réponses simplifiées :
Ces démarches montrent étape par étape comment factoriser, simplifier les puissances et utiliser la relation entre certains termes pour obtenir les formes les plus simples.