Exercice 21

  1. \(\frac{x^{4} - x^{2} y}{x y}\)

  2. \(\frac{3 a^{2} x - 6 a y}{9 a x y}\)

  3. \(\frac{-x^{2}}{a x^{2} + b x^{4}}\)

  4. \(\frac{2 x^{4} + 3 x^{2} y^{2}}{4 x y^{2} + 6 y^{3}}\)

  5. \(\frac{6 a^{3} b^{2} - 3 a^{2} b^{3}}{6 a^{3} b^{2} - 6 a^{2} b^{3}}\)

  6. \(\frac{\sqrt{3} x + \sqrt{3} y}{\sqrt{6} x y}\)

Dans les exercices ci-dessus, factoriser le numérateur ou le dénominateur puis simplifier les facteurs communs :

Réponse

Résumé des réponses finales :

  1. \(\frac{x(x^{2} - y)}{y}\)

  2. \(\frac{a x - 2 y}{3 x y}\)

  3. \(\frac{-1}{a + b x^{2}}\)

  4. \(\frac{x^{2}(2 x^{2} + 3 y^{2})}{2 y^{2}(2 x + 3 y)}\)

  5. \(\frac{2a - b}{2(a - b)}\)

  6. \(\frac{\sqrt{2}(x + y)}{2 x y}\)

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice 7

Question 7)
Simplifier l’expression :
\[ \frac{x^{4} - x^{2} y}{x y} \]

Étape 1 : Factoriser le numérateur

Le numérateur \(x^{4} - x^{2} y\) peut être factorisé en mettant \(x^{2}\) en facteur commun : \[ x^{4} - x^{2} y = x^{2}(x^{2} - y) \]

Étape 2 : Réécrire l’expression avec le numérateur factorisé \[ \frac{x^{2}(x^{2} - y)}{x y} \]

Étape 3 : Simplifier les facteurs communs

On remarque que \(x^{2}\) dans le numérateur et \(x\) dans le dénominateur ont un facteur commun \(x\). Divisons le numérateur et le dénominateur par \(x\) : \[ \frac{x^{2}}{x} = x^{1} = x \]

Étape 4 : Simplifier l’expression finale \[ x \cdot \frac{x^{2} - y}{y} = \frac{x(x^{2} - y)}{y} \]

Réponse finale : \[ \frac{x(x^{2} - y)}{y} \]


Correction de l’exercice 8

Question 8)
Simplifier l’expression :
\[ \frac{3 a^{2} x - 6 a y}{9 a x y} \]

Étape 1 : Factoriser le numérateur

Factorisons \(3a\) dans le numérateur : \[ 3 a^{2} x - 6 a y = 3a(a x - 2 y) \]

Étape 2 : Réécrire l’expression avec le numérateur factorisé \[ \frac{3a(a x - 2 y)}{9 a x y} \]

Étape 3 : Simplifier les facteurs communs

Étape 4 : Simplifier l’expression finale \[ \frac{1}{3} \cdot \frac{a x - 2 y}{x y} = \frac{a x - 2 y}{3 x y} \]

Réponse finale : \[ \frac{a x - 2 y}{3 x y} \]


Correction de l’exercice 9

Question 9)
Simplifier l’expression :
\[ \frac{-x^{2}}{a x^{2} + b x^{4}} \]

Étape 1 : Factoriser le dénominateur

Le dénominateur \(a x^{2} + b x^{4}\) peut être factorisé en mettant \(x^{2}\) en facteur commun : \[ a x^{2} + b x^{4} = x^{2}(a + b x^{2}) \]

Étape 2 : Réécrire l’expression avec le dénominateur factorisé \[ \frac{-x^{2}}{x^{2}(a + b x^{2})} \]

Étape 3 : Simplifier les facteurs communs

Les \(x^{2}\) se simplifient : \[ \frac{-x^{2}}{x^{2}(a + b x^{2})} = \frac{-1}{a + b x^{2}} \]

Réponse finale : \[ \frac{-1}{a + b x^{2}} \]


Correction de l’exercice 10

Question 10)
Simplifier l’expression :
\[ \frac{2 x^{4} + 3 x^{2} y^{2}}{4 x y^{2} + 6 y^{3}} \]

Étape 1 : Factoriser le numérateur et le dénominateur

Factorisons \(x^{2}\) dans le numérateur et \(2 y^{2}\) dans le dénominateur : \[ 2 x^{4} + 3 x^{2} y^{2} = x^{2}(2 x^{2} + 3 y^{2}) \] \[ 4 x y^{2} + 6 y^{3} = 2 y^{2}(2 x + 3 y) \]

Étape 2 : Réécrire l’expression avec les facteurs communs \[ \frac{x^{2}(2 x^{2} + 3 y^{2})}{2 y^{2}(2 x + 3 y)} \]

Étape 3 : Identifier les facteurs communs

Il n’y a pas de facteurs communs supplémentaires à simplifier dans \(2 x^{2} + 3 y^{2}\) et \(2x + 3y\).

Étape 4 : Simplifier les coefficients

On peut diviser les coefficients : \[ \frac{x^{2}}{2 y^{2}} \cdot \frac{2 x^{2} + 3 y^{2}}{2 x + 3 y} \]

Réponse finale : \[ \frac{x^{2}(2 x^{2} + 3 y^{2})}{2 y^{2}(2 x + 3 y)} \]


Correction de l’exercice 11

Question 11)
Simplifier l’expression :
\[ \frac{6 a^{3} b^{2} - 3 a^{2} b^{3}}{6 a^{3} b^{2} - 6 a^{2} b^{3}} \]

Étape 1 : Factoriser le numérateur et le dénominateur

Factorisons \(3a^{2}b^{2}\) dans le numérateur et \(6a^{2}b^{2}\) dans le dénominateur : \[ 6 a^{3} b^{2} - 3 a^{2} b^{3} = 3a^{2}b^{2}(2a - b) \] \[ 6 a^{3} b^{2} - 6 a^{2} b^{3} = 6a^{2}b^{2}(a - b) \]

Étape 2 : Réécrire l’expression avec les facteurs communs \[ \frac{3a^{2}b^{2}(2a - b)}{6a^{2}b^{2}(a - b)} \]

Étape 3 : Simplifier les facteurs communs

Les \(3a^{2}b^{2}\) et \(6a^{2}b^{2}\) peuvent être simplifiés : \[ \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]

Étape 4 : Simplifier l’expression finale \[ \frac{1}{2} \cdot \frac{2a - b}{a - b} \]

Remarque : On peut réarranger le numérateur pour observer une relation avec le dénominateur : \[ 2a - b = -(b - 2a) \] Cependant, sans simplification supplémentaire, l’expression reste :

Réponse finale : \[ \frac{2a - b}{2(a - b)} \]


Correction de l’exercice 12

Question 12)
Simplifier l’expression :
\[ \frac{\sqrt{3} x + \sqrt{3} y}{\sqrt{6} x y} \]

Étape 1 : Factoriser le numérateur

Factorisons \(\sqrt{3}\) dans le numérateur : \[ \sqrt{3} x + \sqrt{3} y = \sqrt{3}(x + y) \]

Étape 2 : Réécrire l’expression avec le numérateur factorisé \[ \frac{\sqrt{3}(x + y)}{\sqrt{6} x y} \]

Étape 3 : Simplifier les coefficients

Simplifions \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}\) : \[ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3 \cdot 2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Étape 4 : Rationaliser le dénominateur

Pour éliminer la racine au dénominateur, multiplions le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt{2}\) : \[ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Étape 5 : Simplifier l’expression finale \[ \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{x + y}{x y} = \frac{\sqrt{2}(x + y)}{2 x y} \]

Réponse finale : \[ \frac{\sqrt{2}(x + y)}{2 x y} \]

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