Factoriser l’expression \(60x^{2} y + 50x^{3} + 18x y^{2}\).
Factoriser l’expression \(28x^{3} y + 63x y - 84x^{2} y\).
Factoriser l’expression \(5x^{2} y + 20y^{3}\).
Factoriser l’expression \(3x^{2} y^{2} - 24x y^{2} + 36 y^{2}\).
Factoriser l’expression \(-36x^{2} + 162 + 2x^{4}\).
Factoriser l’expression \(2x^{5} y^{5} - 8x y\).
\(60x^{2} y + 50x^{3} + 18x y^{2} = 2x(30xy + 25x^{2} + 9y^{2})\)
\(28x^{3} y + 63x y - 84x^{2} y = 7xy(2x - 3)^2\)
\(5x^{2} y + 20y^{3} = 5y(x^{2} + 4y^{2})\)
\(3x^{2} y^{2} - 24x y^{2} + 36 y^{2} = 3y^{2}(x - 6)(x - 2)\)
\(-36x^{2} + 162 + 2x^{4} = 2(x - 3)^2(x + 3)^2\)
\(2x^{5} y^{5} - 8x y = 2xy(x^{2}y^{2} - 2)(x^{2}y^{2} + 2)\)
Factoriser l’expression \(60x^{2} y + 50x^{3} + 18x y^{2}\).
Étape 1 : Identifier le facteur commun.
Regardons chaque terme : - \(60x^{2}y\) a pour facteurs \(60, x^{2}, y\). - \(50x^{3}\) a pour facteurs \(50, x^{3}\). - \(18xy^{2}\) a pour facteurs \(18, x, y^{2}\).
Le facteur commun à tous les termes est \(x\), car chaque terme contient au moins un \(x\).
Étape 2 : Factoriser le facteur commun \(x\).
\[ 60x^{2} y + 50x^{3} + 18x y^{2} = x(60xy + 50x^{2} + 18y^{2}) \]
Étape 3 : Factoriser l’expression restante si possible.
Regardons l’expression à l’intérieur des parenthèses : \(60xy + 50x^{2} + 18y^{2}\).
On peut factoriser davantage en identifiant un facteur commun dans les coefficients numériques. Le plus grand commun diviseur de 60, 50 et 18 est 2.
\[ x(60xy + 50x^{2} + 18y^{2}) = 2x(30xy + 25x^{2} + 9y^{2}) \]
Ainsi, l’expression factorisée est :
\[ 2x(30xy + 25x^{2} + 9y^{2}) \]
Factoriser l’expression \(28x^{3} y + 63x y - 84x^{2} y\).
Étape 1 : Identifier le facteur commun.
Chaque terme contient \(x\) et \(y\). Regardons les coefficients : 28, 63 et 84. Le plus grand commun diviseur est 7.
Étape 2 : Factoriser le facteur commun \(7xy\).
\[ 28x^{3} y + 63x y - 84x^{2} y = 7xy(4x^{2} + 9 - 12x) \]
Étape 3 : Réorganiser les termes à l’intérieur des parenthèses.
\[ 7xy(4x^{2} - 12x + 9) \]
Étape 4 : Factoriser le trinôme du second degré.
Le trinôme \(4x^{2} - 12x + 9\) peut être factorisé en \((2x - 3)^2\).
\[ 7xy(2x - 3)^2 \]
Ainsi, l’expression factorisée est :
\[ 7xy(2x - 3)^2 \]
Factoriser l’expression \(5x^{2} y + 20y^{3}\).
Étape 1 : Identifier le facteur commun.
Chaque terme contient \(y\). Les coefficients 5 et 20 ont pour plus grand commun diviseur 5.
Étape 2 : Factoriser le facteur commun \(5y\).
\[ 5x^{2} y + 20y^{3} = 5y(x^{2} + 4y^{2}) \]
Étape 3 : Vérifier si l’expression à l’intérieur des parenthèses peut être factorisée davantage.
L’expression \(x^{2} + 4y^{2}\) est une somme de carrés, qui ne peut pas être factorisée en réels.
Ainsi, l’expression factorisée est :
\[ 5y(x^{2} + 4y^{2}) \]
Factoriser l’expression \(3x^{2} y^{2} - 24x y^{2} + 36 y^{2}\).
Étape 1 : Identifier le facteur commun.
Chaque terme contient \(y^{2}\). Regardons les coefficients : 3, 24 et 36. Le plus grand commun diviseur est 3.
Étape 2 : Factoriser le facteur commun \(3y^{2}\).
\[ 3x^{2} y^{2} - 24x y^{2} + 36 y^{2} = 3y^{2}(x^{2} - 8x + 12) \]
Étape 3 : Factoriser le trinôme du second degré.
Le trinôme \(x^{2} - 8x + 12\) peut être factorisé en \((x - 6)(x - 2)\).
\[ 3y^{2}(x - 6)(x - 2) \]
Ainsi, l’expression factorisée est :
\[ 3y^{2}(x - 6)(x - 2) \]
Factoriser l’expression \(-36x^{2} + 162 + 2x^{4}\).
Étape 1 : Réorganiser les termes par ordre décroissant de puissances.
\[ 2x^{4} - 36x^{2} + 162 \]
Étape 2 : Identifier le facteur commun.
Les coefficients 2, 36 et 162 ont pour plus grand commun diviseur 2.
\[ 2(x^{4} - 18x^{2} + 81) \]
Étape 3 : Factoriser l’expression à l’intérieur des parenthèses.
L’expression \(x^{4} - 18x^{2} + 81\) peut être vue comme un trinôme quadratique en \(x^{2}\).
Posons \(z = x^{2}\), l’expression devient \(z^{2} - 18z + 81\).
Factorisons :
\[ z^{2} - 18z + 81 = (z - 9)^2 \]
Remplaçons \(z\) par \(x^{2}\) :
\[ (x^{2} - 9)^2 \]
De plus, \(x^{2} - 9\) est une différence de carrés :
\[ x^{2} - 9 = (x - 3)(x + 3) \]
Ainsi,
\[ (x^{2} - 9)^2 = (x - 3)^2(x + 3)^2 \]
Étape 4 : Remettre tout ensemble.
\[ 2(x - 3)^2(x + 3)^2 \]
Ainsi, l’expression factorisée est :
\[ 2(x - 3)^2(x + 3)^2 \]
Factoriser l’expression \(2x^{5} y^{5} - 8x y\).
Étape 1 : Identifier le facteur commun.
Chaque terme contient \(2x y\). De plus, le plus grand commun diviseur pour les puissances de \(x\) et \(y\) est \(x\) et \(y\) respectivement.
Factorisons \(2xy\) :
\[ 2x^{5} y^{5} - 8x y = 2xy(x^{4}y^{4} - 4) \]
Étape 2 : Factoriser l’expression à l’intérieur des parenthèses.
L’expression \(x^{4}y^{4} - 4\) est une différence de carrés :
\[ x^{4}y^{4} - 4 = (x^{2}y^{2})^2 - 2^2 = (x^{2}y^{2} - 2)(x^{2}y^{2} + 2) \]
Étape 3 : Vérifier si l’expression peut être factorisée davantage.
L’expression \(x^{2}y^{2} - 2\) ne peut pas être factorisée davantage en réels.
Étape 4 : Remettre tout ensemble.
\[ 2xy(x^{2}y^{2} - 2)(x^{2}y^{2} + 2) \]
Ainsi, l’expression factorisée est :
\[ 2xy(x^{2}y^{2} - 2)(x^{2}y^{2} + 2) \]