Factorisez le polynôme \(49 a^{5} - 28 a^{4} b + 4 a^{3} b^{2}\).
Factorisez le polynôme \(9 a^{2} + 36 a^{8} + 36 a^{5}\).
Factorisez le polynôme \(2 x^{3} + 10 x^{2} - 168 x\).
Factorisez le polynôme \(81 a^{4} x - 16 b^{4} x\).
Factorisez le polynôme \(162 x^{5} - 2 x\).
Factorisez le polynôme \(4 x^{3} y + 4 x^{2} y - 80 x y\).
Résumé des factorisations :
\(49a^5 - 28a^4b + 4a^3b^2 = a^3 (7a - 2b)^2\)
\(9a^2 + 36a^8 + 36a^5 = 9a^2 (2a^3 + 1)^2\)
\(2x^3 + 10x^2 - 168x = 2x (x + 12)(x - 7)\)
\(81a^4x - 16b^4x = x (3a - 2b)(3a + 2b)(9a^2 + 4b^2)\)
\(162x^5 - 2x = 2x (3x - 1)(3x + 1)(9x^2 + 1)\)
\(4x^3y + 4x^2y - 80xy = 4xy (x + 5)(x - 4)\)
Étape 1 : Identifier le facteur commun
Regardons chaque terme du polynôme : - \(49 a^{5}\) - \(-28 a^{4} b\) - \(4 a^{3} b^{2}\)
Le facteur commun à tous les termes est \(a^{3}\), car c’est la plus petite puissance de \(a\) présente dans chaque terme.
Étape 2 : Extraire le facteur commun
On factorise \(a^{3}\) : \[ 49 a^{5} - 28 a^{4} b + 4 a^{3} b^{2} = a^{3} (49 a^{2} - 28 a b + 4 b^{2}) \]
Étape 3 : Factoriser le trinôme restant
Maintenant, nous devons factoriser le trinôme \(49 a^{2} - 28 a b + 4 b^{2}\).
Observons que : \[ 49 a^{2} = (7 a)^{2}, \quad 4 b^{2} = (2 b)^{2}, \quad -28 a b = 2 \times (7 a) \times (2 b) \times (-1) \]
Cela correspond à une identité remarquable du type \((7a - 2b)^2\).
Étape 4 : Vérifier la factorisation
Calculons \((7a - 2b)^2\) : \[ (7a - 2b)^2 = 49a^{2} - 28ab + 4b^{2} \] C’est bien le trinôme que nous avons.
Solution finale : \[ 49 a^{5} - 28 a^{4} b + 4 a^{3} b^{2} = a^{3} (7a - 2b)^2 \]
Étape 1 : Réarranger les termes
Pour faciliter la factorisation, réorganisons les termes dans l’ordre décroissant des puissances de \(a\) : \[ 36 a^{8} + 36 a^{5} + 9 a^{2} \]
Étape 2 : Identifier le facteur commun
Chaque terme est divisible par \(9 a^{2}\).
Étape 3 : Extraire le facteur commun
Factorisons \(9 a^{2}\) : \[ 36 a^{8} + 36 a^{5} + 9 a^{2} = 9 a^{2} (4 a^{6} + 4 a^{3} + 1) \]
Étape 4 : Factoriser le polynôme cubique
Observons le trinôme \(4 a^{6} + 4 a^{3} + 1\). Remplaçons \(a^{3}\) par \(x\) : \[ 4x^{2} + 4x + 1 \]
Ce trinôme est un carré parfait car : \[ (2x + 1)^2 = 4x^{2} + 4x + 1 \]
Étape 5 : Remplacer \(x = a^{3}\) dans la factorisation
Ainsi : \[ 4 a^{6} + 4 a^{3} + 1 = (2a^{3} + 1)^2 \]
Solution finale : \[ 9 a^{2} + 36 a^{8} + 36 a^{5} = 9 a^{2} (2a^{3} + 1)^2 \]
Étape 1 : Identifier le facteur commun
Chaque terme est divisible par \(2x\).
Étape 2 : Extraire le facteur commun
Factorisons \(2x\) : \[ 2 x^{3} + 10 x^{2} - 168 x = 2x (x^{2} + 5x - 84) \]
Étape 3 : Factoriser le trinôme quadratique
Nous devons factoriser \(x^{2} + 5x - 84\).
Cherchons deux nombres dont le produit est \(-84\) et la somme est \(5\).
Les nombres sont \(21\) et \(-4\) car : \[ 21 \times (-4) = -84 \quad \text{et} \quad 21 + (-4) = 17 \] Oops, cela ne correspond pas à la somme souhaitée. Revérifions.
En réalité, les bons nombres sont \(12\) et \(-7\) car : \[ 12 \times (-7) = -84 \quad \text{et} \quad 12 + (-7) = 5 \]
Étape 4 : Écrire en facteur
Ainsi : \[ x^{2} + 5x - 84 = (x + 12)(x - 7) \]
Solution finale : \[ 2 x^{3} + 10 x^{2} - 168 x = 2x (x + 12)(x - 7) \]
Étape 1 : Identifier le facteur commun
Chaque terme contient \(x\).
Étape 2 : Extraire le facteur commun
Factorisons \(x\) : \[ 81 a^{4} x - 16 b^{4} x = x (81 a^{4} - 16 b^{4}) \]
Étape 3 : Reconnaître une différence de carrés
Le terme \(81 a^{4} - 16 b^{4}\) est une différence de carrés car : \[ 81 a^{4} = (9 a^{2})^{2} \quad \text{et} \quad 16 b^{4} = (4 b^{2})^{2} \]
Étape 4 : Appliquer la formule de la différence de carrés
\[ A^{2} - B^{2} = (A - B)(A + B) \] où \(A = 9a^{2}\) et \(B = 4b^{2}\).
Ainsi : \[ 81 a^{4} - 16 b^{4} = (9a^{2} - 4b^{2})(9a^{2} + 4b^{2}) \]
Étape 5 : Factoriser davantage si possible
Le terme \(9a^{2} - 4b^{2}\) est encore une différence de carrés : \[ 9a^{2} - 4b^{2} = (3a)^{2} - (2b)^{2} = (3a - 2b)(3a + 2b) \]
Le terme \(9a^{2} + 4b^{2}\) est une somme de carrés et ne se factorise pas davantage dans les nombres réels.
Solution finale : \[ 81 a^{4} x - 16 b^{4} x = x (3a - 2b)(3a + 2b)(9a^{2} + 4b^{2}) \]
Étape 1 : Identifier le facteur commun
Chaque terme est divisible par \(2x\).
Étape 2 : Extraire le facteur commun
Factorisons \(2x\) : \[ 162 x^{5} - 2 x = 2x (81 x^{4} - 1) \]
Étape 3 : Reconnaître une différence de carrés
Le terme \(81x^{4} - 1\) est une différence de carrés : \[ 81x^{4} = (9x^{2})^{2} \quad \text{et} \quad 1 = 1^{2} \]
Étape 4 : Appliquer la formule de la différence de carrés
\[ 81x^{4} - 1 = (9x^{2} - 1)(9x^{2} + 1) \]
Étape 5 : Factoriser davantage
Le terme \(9x^{2} - 1\) est également une différence de carrés : \[ 9x^{2} - 1 = (3x)^{2} - 1^{2} = (3x - 1)(3x + 1) \]
Le terme \(9x^{2} + 1\) est une somme de carrés et ne se factorise pas davantage dans les nombres réels.
Solution finale : \[ 162 x^{5} - 2 x = 2x (3x - 1)(3x + 1)(9x^{2} + 1) \]
Étape 1 : Identifier le facteur commun
Chaque terme contient \(4xy\).
Étape 2 : Extraire le facteur commun
Factorisons \(4xy\) : \[ 4 x^{3} y + 4 x^{2} y - 80 x y = 4xy (x^{2} + x - 20) \]
Étape 3 : Factoriser le trinôme quadratique
Nous devons factoriser \(x^{2} + x - 20\).
Cherchons deux nombres dont le produit est \(-20\) et la somme est \(1\).
Les nombres sont \(5\) et \(-4\) car : \[ 5 \times (-4) = -20 \quad \text{et} \quad 5 + (-4) = 1 \]
Étape 4 : Écrire en facteur
Ainsi : \[ x^{2} + x - 20 = (x + 5)(x - 4) \]
Solution finale : \[ 4 x^{3} y + 4 x^{2} y - 80 x y = 4xy (x + 5)(x - 4) \]