Exercice 18

  1. Factoriser \(x^{2} - 6x - 40\)

  2. Factoriser \(3x^{2} - 27\)

  3. Factoriser \(x^{2} - 5x - 84\)

  4. Factoriser \(x^{2} - 15x + 36\)

  5. Factoriser \(x^{2} - 625\)

  6. Factoriser \(x^{8} - 1\)

Réponse

Résumé des factorisations :

  1. \(x^{2} - 6x - 40 = (x - 10)(x + 4)\)

  2. \(3x^{2} - 27 = 3(x - 3)(x + 3)\)

  3. \(x^{2} - 5x - 84 = (x + 7)(x - 12)\)

  4. \(x^{2} - 15x + 36 = (x - 12)(x - 3)\)

  5. \(x^{2} - 625 = (x - 25)(x + 25)\)

  6. \(x^{8} - 1 = (x - 1)(x + 1)(x^{2} + 1)(x^{4} + 1)\)

Corrigé détaillé

Question 7) Factoriser \(x^{2} - 6x - 40\)

Pour factoriser le polynôme \(x^{2} - 6x - 40\), nous cherchons deux nombres dont :

  1. Le produit est égal au terme constant \(-40\).
  2. La somme est égale au coefficient de \(x\), c’est-à-dire \(-6\).

Étape 1 : Identifier les deux nombres

Nous cherchons deux nombres \(a\) et \(b\) tels que : \[ a \times b = -40 \quad \text{et} \quad a + b = -6 \]

En listant les paires de facteurs de \(-40\) : \[ (10, -4) \quad \text{car} \quad 10 \times (-4) = -40 \quad \text{et} \quad 10 + (-4) = 6 \] \[ (-10, 4) \quad \text{car} \quad (-10) \times 4 = -40 \quad \text{et} \quad (-10) + 4 = -6 \]

La paire qui satisfait les deux conditions est \((-10, 4)\).

Étape 2 : Écrire le polynôme factorisé

Nous pouvons réécrire le polynôme en utilisant ces deux nombres : \[ x^{2} - 6x - 40 = (x - 10)(x + 4) \]

Vérification : \[ (x - 10)(x + 4) = x \times x + x \times 4 - 10 \times x - 10 \times 4 = x^{2} + 4x - 10x - 40 = x^{2} - 6x - 40 \]

Question 8) Factoriser \(3x^{2} - 27\)

Pour factoriser \(3x^{2} - 27\), nous remarquons que les deux termes ont un facteur commun.

Étape 1 : Factoriser le facteur commun

Le facteur commun est \(3\) : \[ 3x^{2} - 27 = 3(x^{2} - 9) \]

Étape 2 : Factoriser la différence de carrés

Le terme \(x^{2} - 9\) est une différence de carrés, car \(9 = 3^{2}\). Ainsi : \[ x^{2} - 9 = (x - 3)(x + 3) \]

Étape 3 : Écrire la factorisation complète

En remplaçant dans l’expression initiale : \[ 3x^{2} - 27 = 3(x - 3)(x + 3) \]

Question 9) Factoriser \(x^{2} - 5x - 84\)

Pour factoriser \(x^{2} - 5x - 84\), cherchons deux nombres dont :

  1. Le produit est \(-84\).
  2. La somme est \(-5\).

Étape 1 : Trouver les deux nombres

Nous cherchons \(a\) et \(b\) tels que : \[ a \times b = -84 \quad \text{et} \quad a + b = -5 \]

En examinant les facteurs de \(-84\) : \[ (7, -12) \quad \text{car} \quad 7 \times (-12) = -84 \quad \text{et} \quad 7 + (-12) = -5 \]

Les nombres sont \(7\) et \(-12\).

Étape 2 : Écrire le polynôme factorisé

Ainsi : \[ x^{2} - 5x - 84 = (x + 7)(x - 12) \]

Vérification : \[ (x + 7)(x - 12) = x \times x - 12x + 7x - 84 = x^{2} - 5x - 84 \]

Question 10) Factoriser \(x^{2} - 15x + 36\)

Pour factoriser \(x^{2} - 15x + 36\), trouvons deux nombres dont :

  1. Le produit est \(36\).
  2. La somme est \(-15\).

Étape 1 : Identifier les deux nombres

Cherchons \(a\) et \(b\) tels que : \[ a \times b = 36 \quad \text{et} \quad a + b = -15 \]

Les paires de facteurs de \(36\) : \[ (-12, -3) \quad \text{car} \quad (-12) \times (-3) = 36 \quad \text{et} \quad (-12) + (-3) = -15 \]

Les nombres sont \(-12\) et \(-3\).

Étape 2 : Écrire le polynôme factorisé

Ainsi : \[ x^{2} - 15x + 36 = (x - 12)(x - 3) \]

Vérification : \[ (x - 12)(x - 3) = x \times x - 3x - 12x + 36 = x^{2} - 15x + 36 \]

Question 11) Factoriser \(x^{2} - 625\)

Le polynôme \(x^{2} - 625\) est une différence de carrés.

Étape 1 : Reconnaître la différence de carrés

Sachant que \(625 = 25^{2}\), nous pouvons écrire : \[ x^{2} - 625 = x^{2} - 25^{2} \]

Étape 2 : Appliquer la formule de la différence de carrés

La différence de carrés se factorise ainsi : \[ x^{2} - a^{2} = (x - a)(x + a) \]

En appliquant cette formule : \[ x^{2} - 25^{2} = (x - 25)(x + 25) \]

Ainsi, la factorisation est : \[ x^{2} - 625 = (x - 25)(x + 25) \]

Question 12) Factoriser \(x^{8} - 1\)

Pour factoriser \(x^{8} - 1\), nous utilisons la propriété de la différence de puissances.

Étape 1 : Reconnaître la différence de carrés

Sachant que \(x^{8} = (x^{4})^{2}\) et \(1 = 1^{2}\), nous pouvons écrire : \[ x^{8} - 1 = (x^{4})^{2} - 1^{2} \]

Étape 2 : Appliquer la formule de la différence de carrés

\[ a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b) \] En remplaçant : \[ (x^{4})^{2} - 1^{2} = (x^{4} - 1)(x^{4} + 1) \]

Étape 3 : Factoriser \(x^{4} - 1\)

\(x^{4} - 1\) est également une différence de carrés : \[ x^{4} - 1 = (x^{2})^{2} - 1^{2} = (x^{2} - 1)(x^{2} + 1) \]

De plus, \(x^{2} - 1\) se factorise : \[ x^{2} - 1 = (x - 1)(x + 1) \]

Étape 4 : Regrouper toutes les factorisations

En remplaçant : \[ x^{8} - 1 = (x^{4} - 1)(x^{4} + 1) = (x^{2} - 1)(x^{2} + 1)(x^{4} + 1) = (x - 1)(x + 1)(x^{2} + 1)(x^{4} + 1) \]

Ainsi, la factorisation complète est : \[ x^{8} - 1 = (x - 1)(x + 1)(x^{2} + 1)(x^{4} + 1) \]

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