Factoriser \(x^{2} - 6x - 40\)
Factoriser \(3x^{2} - 27\)
Factoriser \(x^{2} - 5x - 84\)
Factoriser \(x^{2} - 15x + 36\)
Factoriser \(x^{2} - 625\)
Factoriser \(x^{8} - 1\)
Résumé des factorisations :
\(x^{2} - 6x - 40 = (x - 10)(x + 4)\)
\(3x^{2} - 27 = 3(x - 3)(x + 3)\)
\(x^{2} - 5x - 84 = (x + 7)(x - 12)\)
\(x^{2} - 15x + 36 = (x - 12)(x - 3)\)
\(x^{2} - 625 = (x - 25)(x + 25)\)
\(x^{8} - 1 = (x - 1)(x + 1)(x^{2} + 1)(x^{4} + 1)\)
Pour factoriser le polynôme \(x^{2} - 6x - 40\), nous cherchons deux nombres dont :
Étape 1 : Identifier les deux nombres
Nous cherchons deux nombres \(a\) et \(b\) tels que : \[ a \times b = -40 \quad \text{et} \quad a + b = -6 \]
En listant les paires de facteurs de \(-40\) : \[ (10, -4) \quad \text{car} \quad 10 \times (-4) = -40 \quad \text{et} \quad 10 + (-4) = 6 \] \[ (-10, 4) \quad \text{car} \quad (-10) \times 4 = -40 \quad \text{et} \quad (-10) + 4 = -6 \]
La paire qui satisfait les deux conditions est \((-10, 4)\).
Étape 2 : Écrire le polynôme factorisé
Nous pouvons réécrire le polynôme en utilisant ces deux nombres : \[ x^{2} - 6x - 40 = (x - 10)(x + 4) \]
Vérification : \[ (x - 10)(x + 4) = x \times x + x \times 4 - 10 \times x - 10 \times 4 = x^{2} + 4x - 10x - 40 = x^{2} - 6x - 40 \]
Pour factoriser \(3x^{2} - 27\), nous remarquons que les deux termes ont un facteur commun.
Étape 1 : Factoriser le facteur commun
Le facteur commun est \(3\) : \[ 3x^{2} - 27 = 3(x^{2} - 9) \]
Étape 2 : Factoriser la différence de carrés
Le terme \(x^{2} - 9\) est une différence de carrés, car \(9 = 3^{2}\). Ainsi : \[ x^{2} - 9 = (x - 3)(x + 3) \]
Étape 3 : Écrire la factorisation complète
En remplaçant dans l’expression initiale : \[ 3x^{2} - 27 = 3(x - 3)(x + 3) \]
Pour factoriser \(x^{2} - 5x - 84\), cherchons deux nombres dont :
Étape 1 : Trouver les deux nombres
Nous cherchons \(a\) et \(b\) tels que : \[ a \times b = -84 \quad \text{et} \quad a + b = -5 \]
En examinant les facteurs de \(-84\) : \[ (7, -12) \quad \text{car} \quad 7 \times (-12) = -84 \quad \text{et} \quad 7 + (-12) = -5 \]
Les nombres sont \(7\) et \(-12\).
Étape 2 : Écrire le polynôme factorisé
Ainsi : \[ x^{2} - 5x - 84 = (x + 7)(x - 12) \]
Vérification : \[ (x + 7)(x - 12) = x \times x - 12x + 7x - 84 = x^{2} - 5x - 84 \]
Pour factoriser \(x^{2} - 15x + 36\), trouvons deux nombres dont :
Étape 1 : Identifier les deux nombres
Cherchons \(a\) et \(b\) tels que : \[ a \times b = 36 \quad \text{et} \quad a + b = -15 \]
Les paires de facteurs de \(36\) : \[ (-12, -3) \quad \text{car} \quad (-12) \times (-3) = 36 \quad \text{et} \quad (-12) + (-3) = -15 \]
Les nombres sont \(-12\) et \(-3\).
Étape 2 : Écrire le polynôme factorisé
Ainsi : \[ x^{2} - 15x + 36 = (x - 12)(x - 3) \]
Vérification : \[ (x - 12)(x - 3) = x \times x - 3x - 12x + 36 = x^{2} - 15x + 36 \]
Le polynôme \(x^{2} - 625\) est une différence de carrés.
Étape 1 : Reconnaître la différence de carrés
Sachant que \(625 = 25^{2}\), nous pouvons écrire : \[ x^{2} - 625 = x^{2} - 25^{2} \]
Étape 2 : Appliquer la formule de la différence de carrés
La différence de carrés se factorise ainsi : \[ x^{2} - a^{2} = (x - a)(x + a) \]
En appliquant cette formule : \[ x^{2} - 25^{2} = (x - 25)(x + 25) \]
Ainsi, la factorisation est : \[ x^{2} - 625 = (x - 25)(x + 25) \]
Pour factoriser \(x^{8} - 1\), nous utilisons la propriété de la différence de puissances.
Étape 1 : Reconnaître la différence de carrés
Sachant que \(x^{8} = (x^{4})^{2}\) et \(1 = 1^{2}\), nous pouvons écrire : \[ x^{8} - 1 = (x^{4})^{2} - 1^{2} \]
Étape 2 : Appliquer la formule de la différence de carrés
\[ a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b) \] En remplaçant : \[ (x^{4})^{2} - 1^{2} = (x^{4} - 1)(x^{4} + 1) \]
Étape 3 : Factoriser \(x^{4} - 1\)
\(x^{4} - 1\) est également une différence de carrés : \[ x^{4} - 1 = (x^{2})^{2} - 1^{2} = (x^{2} - 1)(x^{2} + 1) \]
De plus, \(x^{2} - 1\) se factorise : \[ x^{2} - 1 = (x - 1)(x + 1) \]
Étape 4 : Regrouper toutes les factorisations
En remplaçant : \[ x^{8} - 1 = (x^{4} - 1)(x^{4} + 1) = (x^{2} - 1)(x^{2} + 1)(x^{4} + 1) = (x - 1)(x + 1)(x^{2} + 1)(x^{4} + 1) \]
Ainsi, la factorisation complète est : \[ x^{8} - 1 = (x - 1)(x + 1)(x^{2} + 1)(x^{4} + 1) \]