Factorisez les expressions suivantes :
Voici les factorisations des expressions :
Nous allons factoriser chacune des expressions suivantes étape par étape. Suivez attentivement chaque étape pour bien comprendre le processus de factorisation.
Étape 1 : Identifier un facteur commun
On remarque que tous les termes sont divisibles par 2.
\[ 2x^{2} - 4x - 16 = 2(x^{2} - 2x - 8) \]
Étape 2 : Factoriser le trinôme
Nous cherchons deux nombres dont le produit est \(-8\) et la somme est \(-2\).
Ces nombres sont \(-4\) et \(2\).
\[ x^{2} - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2) \]
Étape 3 : Écrire la factorisation finale
\[ 2x^{2} - 4x - 16 = 2(x - 4)(x + 2) \]
Étape : Reconnaître une différence de carrés
\(x^{2}\) et \(16\) sont des carrés parfaits.
\[ x^{2} - 16 = (x)^2 - (4)^2 \]
La formule de la différence de carrés est :
\[ a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b) \]
Appliquons la formule :
\[ x^{2} - 16 = (x - 4)(x + 4) \]
Étape : Reconnaître une différence de carrés
\(9a^{2}\) et \(49\) sont des carrés parfaits.
\[ 9a^{2} - 49 = (3a)^2 - (7)^2 \]
Appliquons la formule de la différence de carrés :
\[ 9a^{2} - 49 = (3a - 7)(3a + 7) \]
Étape 1 : Identifier les coefficients
Le trinôme est de la forme \(ax^{2} + bx + c\), ici \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -28\).
Étape 2 : Chercher deux nombres
Nous cherchons deux nombres dont le produit est \(-28\) et la somme est \(3\).
Ces nombres sont \(7\) et \(-4\).
Étape 3 : Écrire la factorisation
\[ x^{2} + 3x - 28 = (x + 7)(x - 4) \]
Étape 1 : Identifier un facteur commun
Le terme \(\frac{1}{4}a^{6} - 49a^{4}\) est divisible par \(a^{4}\).
\[ \frac{1}{4}a^{6} - 49a^{4} = a^{4}\left(\frac{1}{4}a^{2} - 49\right) \]
Étape 2 : Simplifier l’expression entre parenthèses
\[ \frac{1}{4}a^{2} - 49 = \frac{1}{4}a^{2} - \frac{196}{4} = \frac{1}{4}(a^{2} - 196) \]
Étape 3 : Factoriser la différence de carrés
\[ a^{2} - 196 = (a - 14)(a + 14) \]
Étape 4 : Mettre tout ensemble
\[ \frac{1}{4}a^{6} - 49a^{4} = a^{4} \cdot \frac{1}{4}(a - 14)(a + 14) = \frac{1}{4}a^{4}(a - 14)(a + 14) \]
Étape 1 : Identifier un facteur commun
Tous les coefficients sont divisibles par \(0,01\).
\[ 0,01a^{2} - 0,06ab^{4} + 0,09b^{8} = 0,01(a^{2} - 6ab^{4} + 9b^{8}) \]
Étape 2 : Factoriser le trinôme
Le trinôme \(a^{2} - 6ab^{4} + 9b^{8}\) est un carré parfait.
\[ a^{2} - 6ab^{4} + 9b^{8} = (a - 3b^{4})^{2} \]
Étape 3 : Écrire la factorisation finale
\[ 0,01a^{2} - 0,06ab^{4} + 0,09b^{8} = 0,01(a - 3b^{4})^{2} \]
Résumé des factorisations :
En suivant ces étapes, vous pouvez factoriser des expressions similaires en identifiant d’abord les facteurs communs, puis en appliquant des formules de factorisation telles que la différence de carrés ou le trinôme carré parfait.