Exercice 17

Factorisez les expressions suivantes :

  1. \(2x^{2} - 4x - 16\)
  2. \(x^{2} - 16\)
  3. \(9a^{2} - 49\)
  4. \(x^{2} + 3x - 28\)
  5. \(\frac{1}{4}a^{6} - 49a^{4}\)
  6. \(0,01a^{2} - 0,06ab^{4} + 0,09b^{8}\)

Réponse

Voici les factorisations des expressions :

  1. \(2x^{2} - 4x - 16 = 2(x - 4)(x + 2)\)
  2. \(x^{2} - 16 = (x - 4)(x + 4)\)
  3. \(9a^{2} - 49 = (3a - 7)(3a + 7)\)
  4. \(x^{2} + 3x - 28 = (x + 7)(x - 4)\)
  5. \(\frac{1}{4}a^{6} - 49a^{4} = \frac{1}{4}a^{4}(a - 14)(a + 14)\)
  6. \(0,01a^{2} - 0,06ab^{4} + 0,09b^{8} = 0,01(a - 3b^{4})^{2}\)

Corrigé détaillé

Correction des exercices de factorisation

Nous allons factoriser chacune des expressions suivantes étape par étape. Suivez attentivement chaque étape pour bien comprendre le processus de factorisation.


1) \(2x^{2} - 4x - 16\)

Étape 1 : Identifier un facteur commun

On remarque que tous les termes sont divisibles par 2.

\[ 2x^{2} - 4x - 16 = 2(x^{2} - 2x - 8) \]

Étape 2 : Factoriser le trinôme

Nous cherchons deux nombres dont le produit est \(-8\) et la somme est \(-2\).

Ces nombres sont \(-4\) et \(2\).

\[ x^{2} - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2) \]

Étape 3 : Écrire la factorisation finale

\[ 2x^{2} - 4x - 16 = 2(x - 4)(x + 2) \]


2) \(x^{2} - 16\)

Étape : Reconnaître une différence de carrés

\(x^{2}\) et \(16\) sont des carrés parfaits.

\[ x^{2} - 16 = (x)^2 - (4)^2 \]

La formule de la différence de carrés est :

\[ a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b) \]

Appliquons la formule :

\[ x^{2} - 16 = (x - 4)(x + 4) \]


3) \(9a^{2} - 49\)

Étape : Reconnaître une différence de carrés

\(9a^{2}\) et \(49\) sont des carrés parfaits.

\[ 9a^{2} - 49 = (3a)^2 - (7)^2 \]

Appliquons la formule de la différence de carrés :

\[ 9a^{2} - 49 = (3a - 7)(3a + 7) \]


4) \(x^{2} + 3x - 28\)

Étape 1 : Identifier les coefficients

Le trinôme est de la forme \(ax^{2} + bx + c\), ici \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -28\).

Étape 2 : Chercher deux nombres

Nous cherchons deux nombres dont le produit est \(-28\) et la somme est \(3\).

Ces nombres sont \(7\) et \(-4\).

Étape 3 : Écrire la factorisation

\[ x^{2} + 3x - 28 = (x + 7)(x - 4) \]


5) \(\frac{1}{4}a^{6} - 49a^{4}\)

Étape 1 : Identifier un facteur commun

Le terme \(\frac{1}{4}a^{6} - 49a^{4}\) est divisible par \(a^{4}\).

\[ \frac{1}{4}a^{6} - 49a^{4} = a^{4}\left(\frac{1}{4}a^{2} - 49\right) \]

Étape 2 : Simplifier l’expression entre parenthèses

\[ \frac{1}{4}a^{2} - 49 = \frac{1}{4}a^{2} - \frac{196}{4} = \frac{1}{4}(a^{2} - 196) \]

Étape 3 : Factoriser la différence de carrés

\[ a^{2} - 196 = (a - 14)(a + 14) \]

Étape 4 : Mettre tout ensemble

\[ \frac{1}{4}a^{6} - 49a^{4} = a^{4} \cdot \frac{1}{4}(a - 14)(a + 14) = \frac{1}{4}a^{4}(a - 14)(a + 14) \]


6) \(0,01a^{2} - 0,06ab^{4} + 0,09b^{8}\)

Étape 1 : Identifier un facteur commun

Tous les coefficients sont divisibles par \(0,01\).

\[ 0,01a^{2} - 0,06ab^{4} + 0,09b^{8} = 0,01(a^{2} - 6ab^{4} + 9b^{8}) \]

Étape 2 : Factoriser le trinôme

Le trinôme \(a^{2} - 6ab^{4} + 9b^{8}\) est un carré parfait.

\[ a^{2} - 6ab^{4} + 9b^{8} = (a - 3b^{4})^{2} \]

Étape 3 : Écrire la factorisation finale

\[ 0,01a^{2} - 0,06ab^{4} + 0,09b^{8} = 0,01(a - 3b^{4})^{2} \]


Résumé des factorisations :

  1. \(2x^{2} - 4x - 16 = 2(x - 4)(x + 2)\)
  2. \(x^{2} - 16 = (x - 4)(x + 4)\)
  3. \(9a^{2} - 49 = (3a - 7)(3a + 7)\)
  4. \(x^{2} + 3x - 28 = (x + 7)(x - 4)\)
  5. \(\frac{1}{4}a^{6} - 49a^{4} = \frac{1}{4}a^{4}(a - 14)(a + 14)\)
  6. \(0,01a^{2} - 0,06ab^{4} + 0,09b^{8} = 0,01(a - 3b^{4})^{2}\)

En suivant ces étapes, vous pouvez factoriser des expressions similaires en identifiant d’abord les facteurs communs, puis en appliquant des formules de factorisation telles que la différence de carrés ou le trinôme carré parfait.

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