Factorisez complètement les expressions suivantes :
Exercice 214 : \(x^{3} - x = x(x - 1)(x + 1)\)
Exercice 215 : \(45a^{4} - 5b^{4} = 5(3a^{2} - b^{2})(3a^{2} + b^{2})\)
Exercice 216 : \(18x^{2} - 50y^{2} = 2(3x - 5y)(3x + 5y)\)
Exercice 217 : \(3a^{5} - 3ab^{4} = 3a(a - b)(a + b)(a^{2} + b^{2})\)
Exercice 218 : \(x^{10} - x^{2}y^{8} = x^{2}(x - y)(x + y)(x^{2} + y^{2})(x^{4} + y^{4})\)
Exercice 219 : \(a^{4}b^{6} - a^{6}b^{4} = a^{4}b^{4}(b - a)(b + a)\)
Correction :
Pour factoriser l’expression \(x^{3} - x\), suivons les étapes suivantes :
Identifier le facteur commun :
Les deux termes \(x^{3}\) et \(-x\) ont un facteur commun, qui est \(x\).
Factoriser le facteur commun :
\[ x^{3} - x = x(x^{2} - 1) \]
Reconnaître une différence de carrés :
L’expression \(x^{2} - 1\) est une différence de carrés, car elle peut s’écrire comme \(x^{2} - 1^{2}\).
Factoriser la différence de carrés :
\[ x^{2} - 1 = (x - 1)(x + 1) \]
Écrire l’expression factorisée complètement :
\[ x^{3} - x = x(x - 1)(x + 1) \]
Correction :
Pour factoriser l’expression \(45a^{4} - 5b^{4}\), procédons étape par étape :
Identifier le facteur commun :
Les deux termes \(45a^{4}\) et \(-5b^{4}\) ont un facteur commun, qui est \(5\).
Factoriser le facteur commun :
\[ 45a^{4} - 5b^{4} = 5(9a^{4} - b^{4}) \]
Reconnaître une différence de carrés :
L’expression \(9a^{4} - b^{4}\) peut s’écrire comme \((3a^{2})^{2} - (b^{2})^{2}\), ce qui est une différence de carrés.
Factoriser la différence de carrés :
\[ 9a^{4} - b^{4} = (3a^{2} - b^{2})(3a^{2} + b^{2}) \]
Factoriser davantage si possible :
L’expression \(3a^{2} - b^{2}\) est également une différence de carrés.
\[ 3a^{2} - b^{2} = ( \sqrt{3}a - b )( \sqrt{3}a + b ) \]
Toutefois, si nous restons dans le domaine des coefficients entiers, nous nous arrêtons ici.
Écrire l’expression factorisée complètement :
\[ 45a^{4} - 5b^{4} = 5(3a^{2} - b^{2})(3a^{2} + b^{2}) = 5( \sqrt{3}a - b )( \sqrt{3}a + b )(3a^{2} + b^{2}) \]
Remarque : Si l’on souhaite une factorisation avec des coefficients entiers, on s’arrête à :
\[ 45a^{4} - 5b^{4} = 5(3a^{2} - b^{2})(3a^{2} + b^{2}) \]
Correction :
Pour factoriser l’expression \(18x^{2} - 50y^{2}\), procédons étape par étape :
Identifier le facteur commun :
Les deux termes \(18x^{2}\) et \(-50y^{2}\) ont un facteur commun, qui est \(2\).
Factoriser le facteur commun :
\[ 18x^{2} - 50y^{2} = 2(9x^{2} - 25y^{2}) \]
Reconnaître une différence de carrés :
L’expression \(9x^{2} - 25y^{2}\) peut s’écrire comme \((3x)^{2} - (5y)^{2}\), ce qui est une différence de carrés.
Factoriser la différence de carrés :
\[ 9x^{2} - 25y^{2} = (3x - 5y)(3x + 5y) \]
Écrire l’expression factorisée complètement :
\[ 18x^{2} - 50y^{2} = 2(3x - 5y)(3x + 5y) \]
Correction :
Pour factoriser l’expression \(3a^{5} - 3ab^{4}\), procédons étape par étape :
Identifier le facteur commun :
Les deux termes \(3a^{5}\) et \(-3ab^{4}\) ont un facteur commun, qui est \(3a\).
Factoriser le facteur commun :
\[ 3a^{5} - 3ab^{4} = 3a(a^{4} - b^{4}) \]
Reconnaître une différence de carrés :
L’expression \(a^{4} - b^{4}\) peut s’écrire comme \((a^{2})^{2} - (b^{2})^{2}\), ce qui est une différence de carrés.
Factoriser la différence de carrés :
\[ a^{4} - b^{4} = (a^{2} - b^{2})(a^{2} + b^{2}) \]
Factoriser davantage si possible :
L’expression \(a^{2} - b^{2}\) est elle-même une différence de carrés.
\[ a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b) \]
Écrire l’expression factorisée complètement :
\[ 3a^{5} - 3ab^{4} = 3a(a - b)(a + b)(a^{2} + b^{2}) \]
Correction :
Pour factoriser l’expression \(x^{10} - x^{2}y^{8}\), procédons étape par étape :
Identifier le facteur commun :
Les deux termes \(x^{10}\) et \(-x^{2}y^{8}\) ont un facteur commun, qui est \(x^{2}\).
Factoriser le facteur commun :
\[ x^{10} - x^{2}y^{8} = x^{2}(x^{8} - y^{8}) \]
Reconnaître une différence de puissances :
L’expression \(x^{8} - y^{8}\) peut être factorisée en utilisant la formule de la différence de carrés et de puissances.
Factoriser \(x^{8} - y^{8}\) :
\[ x^{8} - y^{8} = (x^{4})^{2} - (y^{4})^{2} = (x^{4} - y^{4})(x^{4} + y^{4}) \]
Factoriser \(x^{4} - y^{4}\) :
\[ x^{4} - y^{4} = (x^{2})^{2} - (y^{2})^{2} = (x^{2} - y^{2})(x^{2} + y^{2}) \]
Factoriser \(x^{2} - y^{2}\) :
\[ x^{2} - y^{2} = (x - y)(x + y) \]
Écrire l’expression factorisée complètement :
\[ x^{10} - x^{2}y^{8} = x^{2}(x - y)(x + y)(x^{2} + y^{2})(x^{4} + y^{4}) \]
Correction :
Pour factoriser l’expression \(a^{4}b^{6} - a^{6}b^{4}\), procédons étape par étape :
Identifier le facteur commun :
Les deux termes \(a^{4}b^{6}\) et \(-a^{6}b^{4}\) ont un facteur commun, qui est \(a^{4}b^{4}\).
Factoriser le facteur commun :
\[ a^{4}b^{6} - a^{6}b^{4} = a^{4}b^{4}(b^{2} - a^{2}) \]
Reconnaître une différence de carrés :
L’expression \(b^{2} - a^{2}\) est une différence de carrés.
Factoriser la différence de carrés :
\[ b^{2} - a^{2} = (b - a)(b + a) \]
Écrire l’expression factorisée complètement :
\[ a^{4}b^{6} - a^{6}b^{4} = a^{4}b^{4}(b - a)(b + a) \]