Question : Factorise puis réduis chaque expression.
U. \(U = (x - 5)^{2} - 36\)
V. \(V = (x + 3)^{2} - (x + 2)^{2}\)
Exprime \(V\) sous la forme \(V = a^{2} - b^{2}\) en précisant \(a\) et \(b\).
W. \(W = 16 - (2 - 4x)^{2}\)
Réponses finales :
Étape 1 : Reconnaître une différence de carrés
L’expression \(U\) est de la forme \(a^{2} - b^{2}\), où : - \(a = (x - 5)\) - \(b = 6\) car \(6^{2} = 36\)
Étape 2 : Appliquer la formule de la différence de carrés
La différence de deux carrés s’écrit : \[ a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b) \] En remplaçant \(a\) et \(b\) : \[ U = (x - 5 - 6)(x - 5 + 6) \]
Étape 3 : Simplifier les expressions entre parenthèses
Calculons chaque facteur : \[ x - 5 - 6 = x - 11 \] \[ x - 5 + 6 = x + 1 \]
Étape 4 : Écrire le produit factorisé
Ainsi, l’expression factorisée de \(U\) est : \[ U = (x - 11)(x + 1) \]
Étape 5 : Développer pour réduire l’expression (optionnel)
Si on souhaite développer pour vérifier : \[ (x - 11)(x + 1) = x^{2} + x - 11x - 11 = x^{2} - 10x - 11 \] Cependant, la forme factorisée \((x - 11)(x + 1)\) est souhaitée.
Étape 1 : Identifier la forme de l’expression
L’expression \(V\) est une différence de deux carrés : \[ V = a^{2} - b^{2} \] où : - \(a = x + 3\) - \(b = x + 2\)
Étape 2 : Appliquer la formule de la différence de carrés
Selon la formule : \[ a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b) \] En remplaçant \(a\) et \(b\) : \[ V = ( (x + 3) - (x + 2) ) \times ( (x + 3) + (x + 2) ) \]
Étape 3 : Simplifier les expressions entre parenthèses
Calculons chaque facteur : \[ (x + 3) - (x + 2) = x + 3 - x - 2 = 1 \] \[ (x + 3) + (x + 2) = x + 3 + x + 2 = 2x + 5 \]
Étape 4 : Écrire le produit factorisé
Ainsi, l’expression factorisée de \(V\) est : \[ V = 1 \times (2x + 5) = 2x + 5 \]
Réponse finale sous la forme \(V = a^{2} - b^{2}\)
Pour conformer à la forme demandée \(V = a^{2} - b^{2}\), nous avons : - \(a = x + 3\) - \(b = x + 2\)
Étape 1 : Reconnaître une différence de carrés
L’expression \(W\) est de la forme \(a^{2} - b^{2}\), où : - \(a = 4\) car \(4^{2} = 16\) - \(b = (2 - 4x)\)
Étape 2 : Appliquer la formule de la différence de carrés
La différence de deux carrés s’écrit : \[ a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b) \] En remplaçant \(a\) et \(b\) : \[ W = (4 - (2 - 4x))(4 + (2 - 4x)) \]
Étape 3 : Simplifier les expressions entre parenthèses
Calculons chaque facteur : \[ 4 - (2 - 4x) = 4 - 2 + 4x = 2 + 4x \] \[ 4 + (2 - 4x) = 4 + 2 - 4x = 6 - 4x \]
Étape 4 : Écrire le produit factorisé
Ainsi, l’expression factorisée de \(W\) est : \[ W = (2 + 4x)(6 - 4x) \]
Étape 5 : Simplifier si nécessaire
On peut factoriser davantage si besoin : \[ 2 + 4x = 2(1 + 2x) \] \[ 6 - 4x = 2(3 - 2x) \] Donc : \[ W = 2 \times 2 \times (1 + 2x)(3 - 2x) = 4(1 + 2x)(3 - 2x) \]
Cependant, la forme \((2 + 4x)(6 - 4x)\) est déjà une factorisation correcte.