Exercice 11

Question : Factorise chaque expression.

\[ \mathrm{A} = a^{2} - 16 \]

\[ \mathrm{B} = 121 - b^{2} \]

\[ \mathrm{C} = 25c^{2} - 4 \]

\[ \mathrm{D} = 64 - 49d^{2} \]

Réponse

Réponses :

A. \(a^{2} - 16 = (a - 4)(a + 4)\)

B. \(121 - b^{2} = (11 - b)(11 + b)\)

C. \(25c^{2} - 4 = (5c - 2)(5c + 2)\)

D. \(64 - 49d^{2} = (8 - 7d)(8 + 7d)\)

Corrigé détaillé

Correction détaillée

Nous allons factoriser chacune des expressions données en utilisant la méthode de la différence de carrés. La différence de carrés est une formule algébrique qui s’écrit :

\[ A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) \]

A. Factorisation de \(a^{2} - 16\)
  1. Identifier les carrés parfaits :

    • \(a^{2}\) est le carré de \(a\).
    • \(16\) est le carré de \(4\) (puisque \(4^2 = 16\)).
  2. Appliquer la formule de la différence de carrés :

    \[ a^{2} - 16 = a^{2} - 4^{2} = (a - 4)(a + 4) \]

Factorisation finale :

\[ a^{2} - 16 = (a - 4)(a + 4) \]


B. Factorisation de \(121 - b^{2}\)
  1. Identifier les carrés parfaits :

    • \(121\) est le carré de \(11\) (puisque \(11^2 = 121\)).
    • \(b^{2}\) est le carré de \(b\).
  2. Appliquer la formule de la différence de carrés :

    \[ 121 - b^{2} = 11^{2} - b^{2} = (11 - b)(11 + b) \]

Factorisation finale :

\[ 121 - b^{2} = (11 - b)(11 + b) \]


C. Factorisation de \(25c^{2} - 4\)
  1. Identifier les carrés parfaits :

    • \(25c^{2}\) est le carré de \(5c\) (puisque \((5c)^2 = 25c^{2}\)).
    • \(4\) est le carré de \(2\) (puisque \(2^2 = 4\)).
  2. Appliquer la formule de la différence de carrés :

    \[ 25c^{2} - 4 = (5c)^{2} - 2^{2} = (5c - 2)(5c + 2) \]

Factorisation finale :

\[ 25c^{2} - 4 = (5c - 2)(5c + 2) \]


D. Factorisation de \(64 - 49d^{2}\)
  1. Identifier les carrés parfaits :

    • \(64\) est le carré de \(8\) (puisque \(8^2 = 64\)).
    • \(49d^{2}\) est le carré de \(7d\) (puisque \((7d)^2 = 49d^{2}\)).
  2. Appliquer la formule de la différence de carrés :

    \[ 64 - 49d^{2} = 8^{2} - (7d)^{2} = (8 - 7d)(8 + 7d) \]

Factorisation finale :

\[ 64 - 49d^{2} = (8 - 7d)(8 + 7d) \]


Ainsi, chaque expression a été factorisée en utilisant la différence de carrés, ce qui permet de simplifier davantage les calculs ou de résoudre des équations plus facilement.

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