Exercice 10

Factoriser à l’aide des produits remarquables :

1. \(x^{2} + 10x - 24\)

2. \(x^{2} - 5x - 24\)

3. \(x^{2} - 23x - 24\)

4. \(x^{2} + 2x - 24\)

5. \(x^{2} - 4x - 32\)

6. \(4a^{2} - 4a - 15\)

Réponse

Résumé des réponses factorisées :

1. \((x - 2)(x + 12)\)
2. \((x - 8)(x + 3)\)
3. \((x + 1)(x - 24)\)
4. \((x - 4)(x + 6)\)
5. \((x - 8)(x + 4)\)
6. \((2a - 5)(2a + 3)\)

Corrigé détaillé

Correction des exercices de factorisation

1) \(x^{2} + 10x - 24\)

Étapes de résolution :

1. Identification des coefficients :
   • \(a = 1\) (coefficient de \(x^{2}\))
   • \(b = 10\) (coefficient de \(x\))
   • \(c = -24\) (terme constant)
2. Recherche de deux nombres :
   • Nous cherchons deux nombres \(m\) et \(n\) tels que :
     • \(m + n = b = 10\)
     • \(m \times n = a \times c = 1 \times (-24) = -24\)
3. Détermination des nombres :
   • Les nombres 12 et -2 satisfont les conditions :
     • \(12 + (-2) = 10\)
     • \(12 \times (-2) = -24\)
4. Factorisation : \[ x^{2} + 10x - 24 = x^{2} + 12x - 2x - 24 \] \[ = x(x + 12) - 2(x + 12) \] \[ = (x - 2)(x + 12) \]

Réponse factorisée : \[ (x - 2)(x + 12) \]

---

2) \(x^{2} - 5x - 24\)

Étapes de résolution :

1. Identification des coefficients :
   • \(a = 1\)
   • \(b = -5\)
   • \(c = -24\)
2. Recherche de deux nombres :
   • \(m + n = -5\)
   • \(m \times n = -24\)
3. Détermination des nombres :
   • Les nombres 3 et -8 satisfont les conditions :
     • \(3 + (-8) = -5\)
     • \(3 \times (-8) = -24\)
4. Factorisation : \[ x^{2} - 5x - 24 = x^{2} + 3x - 8x - 24 \] \[ = x(x + 3) - 8(x + 3) \] \[ = (x - 8)(x + 3) \]

Réponse factorisée : \[ (x - 8)(x + 3) \]

---

3) \(x^{2} - 23x - 24\)

Étapes de résolution :

1. Identification des coefficients :
   • \(a = 1\)
   • \(b = -23\)
   • \(c = -24\)
2. Recherche de deux nombres :
   • \(m + n = -23\)
   • \(m \times n = -24\)
3. Détermination des nombres :
   • Les nombres -24 et 1 satisfont les conditions :
     • \(-24 + 1 = -23\)
     • \(-24 \times 1 = -24\)
4. Factorisation : \[ x^{2} - 23x - 24 = x^{2} - 24x + x - 24 \] \[ = x(x - 24) + 1(x - 24) \] \[ = (x + 1)(x - 24) \]

Réponse factorisée : \[ (x + 1)(x - 24) \]

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4) \(x^{2} + 2x - 24\)

Étapes de résolution :

1. Identification des coefficients :
   • \(a = 1\)
   • \(b = 2\)
   • \(c = -24\)
2. Recherche de deux nombres :
   • \(m + n = 2\)
   • \(m \times n = -24\)
3. Détermination des nombres :
   • Les nombres 6 et -4 satisfont les conditions :
     • \(6 + (-4) = 2\)
     • \(6 \times (-4) = -24\)
4. Factorisation : \[ x^{2} + 2x - 24 = x^{2} + 6x - 4x - 24 \] \[ = x(x + 6) - 4(x + 6) \] \[ = (x - 4)(x + 6) \]

Réponse factorisée : \[ (x - 4)(x + 6) \]

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5) \(x^{2} - 4x - 32\)

Étapes de résolution :

1. Identification des coefficients :
   • \(a = 1\)
   • \(b = -4\)
   • \(c = -32\)
2. Recherche de deux nombres :
   • \(m + n = -4\)
   • \(m \times n = -32\)
3. Détermination des nombres :
   • Les nombres 4 et -8 satisfont les conditions :
     • \(4 + (-8) = -4\)
     • \(4 \times (-8) = -32\)
4. Factorisation : \[ x^{2} - 4x - 32 = x^{2} + 4x - 8x - 32 \] \[ = x(x + 4) - 8(x + 4) \] \[ = (x - 8)(x + 4) \]

Réponse factorisée : \[ (x - 8)(x + 4) \]

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6) \(4a^{2} - 4a - 15\)

Étapes de résolution :

1. Identification des coefficients :

   • \(a = 4\) (coefficient de \(a^{2}\))
   • \(b = -4\) (coefficient de \(a\))
   • \(c = -15\) (terme constant)

2. Produit \(a \times c = 4 \times (-15) = -60\)

3. Recherche de deux nombres :

   • Nous cherchons deux nombres \(m\) et \(n\) tels que :
     • \(m + n = b = -4\)
     • \(m \times n = -60\)

4. Détermination des nombres :

   • Les nombres 6 et -10 satisfont les conditions :
     • \(6 + (-10) = -4\)
     • \(6 \times (-10) = -60\)

5. Réécriture de l’expression : \[ 4a^{2} - 4a - 15 = 4a^{2} + 6a - 10a - 15 \]

6. Factorisation par regroupement : \[ = (4a^{2} + 6a) + (-10a - 15) \] \[ = 2a(2a + 3) -5(2a + 3) \] \[ = (2a - 5)(2a + 3) \]

Réponse factorisée : \[ (2a - 5)(2a + 3) \]