Exercice 9

Factoriser à l’aide des produits remarquables :

  1. \(x^{2} + 9x + 20\)
  2. \(x^{2} + x - 20\)
  3. \(x^{2} - x - 20\)
  4. \(x^{2} - 9x + 20\)
  5. \(x^{2} + 13x + 30\)
  6. \(x^{2} - 11x + 30\)

Réponse

Résumé des factorisations

  1. \(x^{2} + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5)\)
  2. \(x^{2} + x - 20 = (x + 5)(x - 4)\)
  3. \(x^{2} - x - 20 = (x + 4)(x - 5)\)
  4. \(x^{2} - 9x + 20 = (x - 4)(x - 5)\)
  5. \(x^{2} + 13x + 30 = (x + 3)(x + 10)\)
  6. \(x^{2} - 11x + 30 = (x - 5)(x - 6)\)

Chaque trinôme a été factorisé en deux binômes correspondant aux conditions de somme et de produit des coefficients.

Corrigé détaillé

Correction des exercices de factorisation à l’aide des produits remarquables

Nous allons factoriser chacun des trinomials suivants en trouvant deux binômes dont le produit donne le trinôme initial. Pour ce faire, nous cherchons deux nombres dont la somme est égale au coefficient du terme en \(x\) et le produit est égal au terme constant.

1. \(x^{2} + 9x + 20\)

Étapes de factorisation :

  1. Identifier les coefficients :
    • \(a = 1\) (coefficient de \(x^{2}\))
    • \(b = 9\) (coefficient de \(x\))
    • \(c = 20\) (terme constant)
  2. Trouver deux nombres \(m\) et \(n\) tels que :
    • \(m + n = b = 9\)
    • \(m \times n = c = 20\)
  3. Recherche des nombres :
    • Les paires de facteurs de 20 sont :
      • \(1\) et \(20\) (somme : 21)
      • \(2\) et \(10\) (somme : 12)
      • \(4\) et \(5\) (somme : 9)
    • La paire \(4\) et \(5\) convient car \(4 + 5 = 9\).
  4. Écrire les facteurs :
    • \(x^{2} + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5)\)

Réponse factorisée : \[ x^{2} + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5) \]

2. \(x^{2} + x - 20\)

Étapes de factorisation :

  1. Identifier les coefficients :
    • \(a = 1\)
    • \(b = 1\)
    • \(c = -20\)
  2. Trouver deux nombres \(m\) et \(n\) tels que :
    • \(m + n = 1\)
    • \(m \times n = -20\)
  3. Recherche des nombres :
    • Les paires de facteurs de 20 avec signes différents :
      • \(5\) et \(-4\) (somme : \(5 + (-4) = 1\))
      • \(-5\) et \(4\) (somme : \(-5 + 4 = -1\))
    • La paire \(5\) et \(-4\) convient.
  4. Écrire les facteurs :
    • \(x^{2} + x - 20 = (x + 5)(x - 4)\)

Réponse factorisée : \[ x^{2} + x - 20 = (x + 5)(x - 4) \]

3. \(x^{2} - x - 20\)

Étapes de factorisation :

  1. Identifier les coefficients :
    • \(a = 1\)
    • \(b = -1\)
    • \(c = -20\)
  2. Trouver deux nombres \(m\) et \(n\) tels que :
    • \(m + n = -1\)
    • \(m \times n = -20\)
  3. Recherche des nombres :
    • Les paires de facteurs de 20 avec signes différents :
      • \(4\) et \(-5\) (somme : \(4 + (-5) = -1\))
      • \(-4\) et \(5\) (somme : \(-4 + 5 = 1\))
    • La paire \(4\) et \(-5\) convient.
  4. Écrire les facteurs :
    • \(x^{2} - x - 20 = (x + 4)(x - 5)\)

Réponse factorisée : \[ x^{2} - x - 20 = (x + 4)(x - 5) \]

4. \(x^{2} - 9x + 20\)

Étapes de factorisation :

  1. Identifier les coefficients :
    • \(a = 1\)
    • \(b = -9\)
    • \(c = 20\)
  2. Trouver deux nombres \(m\) et \(n\) tels que :
    • \(m + n = -9\)
    • \(m \times n = 20\)
  3. Recherche des nombres :

    • Les paires de facteurs de 20 sont :

      • \(1\) et \(20\) (somme : 21)
      • \(2\) et \(10\) (somme : 12)
      • \(4\) et \(5\) (somme : 9)

    • Pour obtenir une somme de \(-9\), les deux nombres doivent être négatifs : \(-4\) et \(-5\).

    • \(-4 + (-5) = -9\) et \(-4 \times -5 = 20\).

  4. Écrire les facteurs :
    • \(x^{2} - 9x + 20 = (x - 4)(x - 5)\)

Réponse factorisée : \[ x^{2} - 9x + 20 = (x - 4)(x - 5) \]

5. \(x^{2} + 13x + 30\)

Étapes de factorisation :

  1. Identifier les coefficients :
    • \(a = 1\)
    • \(b = 13\)
    • \(c = 30\)
  2. Trouver deux nombres \(m\) et \(n\) tels que :
    • \(m + n = 13\)
    • \(m \times n = 30\)
  3. Recherche des nombres :
    • Les paires de facteurs de 30 sont :
      • \(1\) et \(30\) (somme : 31)
      • \(2\) et \(15\) (somme : 17)
      • \(3\) et \(10\) (somme : 13)
      • \(5\) et \(6\) (somme : 11)
    • La paire \(3\) et \(10\) convient.
  4. Écrire les facteurs :
    • \(x^{2} + 13x + 30 = (x + 3)(x + 10)\)

Réponse factorisée : \[ x^{2} + 13x + 30 = (x + 3)(x + 10) \]

6. \(x^{2} - 11x + 30\)

Étapes de factorisation :

  1. Identifier les coefficients :
    • \(a = 1\)
    • \(b = -11\)
    • \(c = 30\)
  2. Trouver deux nombres \(m\) et \(n\) tels que :
    • \(m + n = -11\)
    • \(m \times n = 30\)
  3. Recherche des nombres :

    • Les paires de facteurs de 30 sont :

      • \(1\) et \(30\) (somme : 31)
      • \(2\) et \(15\) (somme : 17)
      • \(3\) et \(10\) (somme : 13)
      • \(5\) et \(6\) (somme : 11)

    • Pour obtenir une somme de \(-11\), les deux nombres doivent être négatifs : \(-5\) et \(-6\).

    • \(-5 + (-6) = -11\) et \(-5 \times -6 = 30\).

  4. Écrire les facteurs :
    • \(x^{2} - 11x + 30 = (x - 5)(x - 6)\)

Réponse factorisée : \[ x^{2} - 11x + 30 = (x - 5)(x - 6) \]

Résumé des factorisations

  1. \(x^{2} + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5)\)
  2. \(x^{2} + x - 20 = (x + 5)(x - 4)\)
  3. \(x^{2} - x - 20 = (x + 4)(x - 5)\)
  4. \(x^{2} - 9x + 20 = (x - 4)(x - 5)\)
  5. \(x^{2} + 13x + 30 = (x + 3)(x + 10)\)
  6. \(x^{2} - 11x + 30 = (x - 5)(x - 6)\)

Chaque trinôme a été factorisé en deux binômes en identifiant les nombres appropriés qui satisfont les conditions de somme et de produit nécessaires.

En haut

Acceptez-vous que toute votre activité sur le site soit enregistrée à des fins d'amélioration et que des données soient stockées sur votre appareil (cookies) ?


Fermer