Factorisez à l’aide des produits remarquables :
\(9x^{2} - 30xy^{2} + 25y^{4}\)
\(49a^{4} - 42a^{2}b + 9b^{2}\)
\(4a^{6} - 16a^{3}b^{2} + 16b^{4}\)
\(9x^{8} - 42x^{4}y + 49y^{2}\)
\(4a^{4} - 44a^{2}b + 121b^{2}\)
\(16x^{8} + 81y^{4} - 72x^{4}y^{2}\)
Résumé :
Toutes les expressions ont été factorisées en appliquant le produit remarquable du carré parfait, ce qui simplifie les polynômes en formes carrées.
Nous allons factoriser chaque expression en utilisant les propriétés des produits remarquables. Ces propriétés nous permettent de simplifier des expressions algébriques en reconnaissant des formes particulières, comme les carrés parfaits ou les différences de carrés.
Étape 1 : Identifier les termes carrés
\[ 9x^{2} = (3x)^{2} \quad \text{et} \quad 25y^{4} = (5y^{2})^{2} \]
Étape 2 : Vérifier le terme du milieu
Le terme du milieu est \(-30xy^{2}\). Vérifions si c’est égal à \(2 \times 3x \times 5y^{2}\) :
\[ 2 \times 3x \times 5y^{2} = 30xy^{2} \]
Comme le terme du milieu est \(-30xy^{2}\), il correspond à \(-2ab\).
Étape 3 : Appliquer le produit remarquable du carré parfait
\[ a^{2} - 2ab + b^{2} = (a - b)^{2} \]
En remplaçant \(a = 3x\) et \(b = 5y^{2}\) :
\[ 9x^{2} - 30xy^{2} + 25y^{4} = (3x - 5y^{2})^{2} \]
Réponse :
\[ 9x^{2} - 30xy^{2} + 25y^{4} = (3x - 5y^{2})^{2} \]
Étape 1 : Identifier les termes carrés
\[ 49a^{4} = (7a^{2})^{2} \quad \text{et} \quad 9b^{2} = (3b)^{2} \]
Étape 2 : Vérifier le terme du milieu
Le terme du milieu est \(-42a^{2}b\). Vérifions si c’est égal à \(2 \times 7a^{2} \times 3b\) :
\[ 2 \times 7a^{2} \times 3b = 42a^{2}b \]
Comme le terme du milieu est \(-42a^{2}b\), il correspond à \(-2ab\).
Étape 3 : Appliquer le produit remarquable du carré parfait
\[ a^{2} - 2ab + b^{2} = (a - b)^{2} \]
En remplaçant \(a = 7a^{2}\) et \(b = 3b\) :
\[ 49a^{4} - 42a^{2}b + 9b^{2} = (7a^{2} - 3b)^{2} \]
Réponse :
\[ 49a^{4} - 42a^{2}b + 9b^{2} = (7a^{2} - 3b)^{2} \]
Étape 1 : Identifier les termes carrés
\[ 4a^{6} = (2a^{3})^{2} \quad \text{et} \quad 16b^{4} = (4b^{2})^{2} \]
Étape 2 : Vérifier le terme du milieu
Le terme du milieu est \(-16a^{3}b^{2}\). Vérifions si c’est égal à \(2 \times 2a^{3} \times 4b^{2}\) :
\[ 2 \times 2a^{3} \times 4b^{2} = 16a^{3}b^{2} \]
Comme le terme du milieu est \(-16a^{3}b^{2}\), il correspond à \(-2ab\).
Étape 3 : Appliquer le produit remarquable du carré parfait
\[ a^{2} - 2ab + b^{2} = (a - b)^{2} \]
En remplaçant \(a = 2a^{3}\) et \(b = 4b^{2}\) :
\[ 4a^{6} - 16a^{3}b^{2} + 16b^{4} = (2a^{3} - 4b^{2})^{2} \]
Réponse :
\[ 4a^{6} - 16a^{3}b^{2} + 16b^{4} = (2a^{3} - 4b^{2})^{2} \]
Étape 1 : Identifier les termes carrés
\[ 9x^{8} = (3x^{4})^{2} \quad \text{et} \quad 49y^{2} = (7y)^{2} \]
Étape 2 : Vérifier le terme du milieu
Le terme du milieu est \(-42x^{4}y\). Vérifions si c’est égal à \(2 \times 3x^{4} \times 7y\) :
\[ 2 \times 3x^{4} \times 7y = 42x^{4}y \]
Comme le terme du milieu est \(-42x^{4}y\), il correspond à \(-2ab\).
Étape 3 : Appliquer le produit remarquable du carré parfait
\[ a^{2} - 2ab + b^{2} = (a - b)^{2} \]
En remplaçant \(a = 3x^{4}\) et \(b = 7y\) :
\[ 9x^{8} - 42x^{4}y + 49y^{2} = (3x^{4} - 7y)^{2} \]
Réponse :
\[ 9x^{8} - 42x^{4}y + 49y^{2} = (3x^{4} - 7y)^{2} \]
Étape 1 : Identifier les termes carrés
\[ 4a^{4} = (2a^{2})^{2} \quad \text{et} \quad 121b^{2} = (11b)^{2} \]
Étape 2 : Vérifier le terme du milieu
Le terme du milieu est \(-44a^{2}b\). Vérifions si c’est égal à \(2 \times 2a^{2} \times 11b\) :
\[ 2 \times 2a^{2} \times 11b = 44a^{2}b \]
Comme le terme du milieu est \(-44a^{2}b\), il correspond à \(-2ab\).
Étape 3 : Appliquer le produit remarquable du carré parfait
\[ a^{2} - 2ab + b^{2} = (a - b)^{2} \]
En remplaçant \(a = 2a^{2}\) et \(b = 11b\) :
\[ 4a^{4} - 44a^{2}b + 121b^{2} = (2a^{2} - 11b)^{2} \]
Réponse :
\[ 4a^{4} - 44a^{2}b + 121b^{2} = (2a^{2} - 11b)^{2} \]
Étape 1 : Identifier les termes carrés
\[ 16x^{8} = (4x^{4})^{2} \quad \text{et} \quad 81y^{4} = (9y^{2})^{2} \]
Étape 2 : Vérifier le terme du milieu
Le terme du milieu est \(-72x^{4}y^{2}\). Vérifions si c’est égal à \(2 \times 4x^{4} \times 9y^{2}\) :
\[ 2 \times 4x^{4} \times 9y^{2} = 72x^{4}y^{2} \]
Comme le terme du milieu est \(-72x^{4}y^{2}\), il correspond à \(-2ab\).
Étape 3 : Appliquer le produit remarquable du carré parfait
\[ a^{2} - 2ab + b^{2} = (a - b)^{2} \]
En remplaçant \(a = 4x^{4}\) et \(b = 9y^{2}\) :
\[ 16x^{8} + 81y^{4} - 72x^{4}y^{2} = (4x^{4} - 9y^{2})^{2} \]
Réponse :
\[ 16x^{8} + 81y^{4} - 72x^{4}y^{2} = (4x^{4} - 9y^{2})^{2} \]
Résumé des réponses :
\(9x^{2} - 30xy^{2} + 25y^{4} = (3x - 5y^{2})^{2}\)
\(49a^{4} - 42a^{2}b + 9b^{2} = (7a^{2} - 3b)^{2}\)
\(4a^{6} - 16a^{3}b^{2} + 16b^{4} = (2a^{3} - 4b^{2})^{2}\)
\(9x^{8} - 42x^{4}y + 49y^{2} = (3x^{4} - 7y)^{2}\)
\(4a^{4} - 44a^{2}b + 121b^{2} = (2a^{2} - 11b)^{2}\)
\(16x^{8} + 81y^{4} - 72x^{4}y^{2} = (4x^{4} - 9y^{2})^{2}\)
Chaque expression a été factorisée en utilisant le produit remarquable du carré parfait, ce qui permet de simplifier et de mieux comprendre la structure algébrique des polynômes.