Exercice 7

Simplifiez l’expression suivante : \(4 a^{3} - 7 a^{2} + 3 a\)
Simplifiez l’expression suivante : \(\frac{1}{2} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + \frac{3}{2} x\)
Simplifiez l’expression suivante : \(7 a^{2} b - 14 a b^{2} + 21 a^{3} b^{3}\)
Simplifiez l’expression suivante : \(0,4 y^{4} - 0,2 y^{3} + 0,6 x y^{5}\)
Simplifiez l’expression suivante : \(3 a^{7} b + 2 a^{12} b^{4} - 7 a^{4} b^{5}\)
Simplifiez l’expression suivante : \(22 x^{4} y^{5} - 121 x^{6} y^{14} + 132 x^{5} y^{20}\)

Réponse

Réponses simplifiées

Exercice 25 : \[ 4a^{3} - 7a^{2} + 3a \]

Exercice 26 : \[ \frac{1}{2}x^{3} - \frac{1}{4}x^{2} + \frac{3}{2}x \]

Exercice 27 : \[ 7ab(a - 2b + 3a^{2}b^{2}) \]

Exercice 28 : \[ 0,2y^{3}(2y - 1 + 3xy^{2}) \]

Exercice 29 : \[ a^{4}b(3a^{3} + 2a^{8}b^{3} - 7b^{4}) \]

Exercice 30 : \[ 11x^{4}y^{5}(2 - 11x^{2}y^{9} + 12xy^{15}) \]

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice 25

Question 25. Simplifiez l’expression suivante :
\[ 4 a^{3} - 7 a^{2} + 3 a \]

Solution détaillée :

Pour simplifier cette expression, nous allons identifier les termes semblables et les regrouper si possible. Cependant, dans cette expression, tous les termes contiennent des puissances différentes de \(a\), il n’y a donc pas de termes semblables à combiner.

Étapes :

Identifier les termes :
- \(4a^{3}\) : terme de degré 3
- \(-7a^{2}\) : terme de degré 2
- \(3a\) : terme de degré 1
Vérifier s’il y a des termes similaires :
- Les exposants de \(a\) sont différents (3, 2, 1), donc les termes ne sont pas semblables.
Conclusion :
- L’expression est déjà simplifiée car aucun terme ne peut être combiné avec un autre.

Réponse simplifiée : \[ 4a^{3} - 7a^{2} + 3a \]

Correction de l’exercice 26

Question 26. Simplifiez l’expression suivante :
\[ \frac{1}{2} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + \frac{3}{2} x \]

Solution détaillée :

Comme dans l’exercice précédent, nous allons vérifier s’il est possible de regrouper des termes semblables. Ici, les coefficients sont des fractions, mais les puissances de \(x\) sont toutes différentes, donc aucune simplification supplémentaire par regroupement n’est possible.

Étapes :

Identifier les termes :
- \(\frac{1}{2}x^{3}\) : terme de degré 3
- \(-\frac{1}{4}x^{2}\) : terme de degré 2
- \(\frac{3}{2}x\) : terme de degré 1
Vérifier la possibilité de regrouper les termes :
- Les exposants de \(x\) sont différents (3, 2, 1), donc les termes ne sont pas semblables.
Conclusion :
- L’expression est déjà simplifiée.

Réponse simplifiée : \[ \frac{1}{2}x^{3} - \frac{1}{4}x^{2} + \frac{3}{2}x \]

Correction de l’exercice 27

Question 27. Simplifiez l’expression suivante :
\[ 7 a^{2} b - 14 a b^{2} + 21 a^{3} b^{3} \]

Solution détaillée :

Pour simplifier cette expression, nous allons factoriser les termes communs si possible.

Étapes :

Identifier les coefficients et les variables communes :
- Coefficients : 7, -14, 21
- Variables : \(a\) et \(b\) avec différentes puissances
Trouver le facteur commun des coefficients :
- Les coefficients 7, -14 et 21 sont tous divisibles par 7.
Identifier le facteur commun des variables :
- Pour \(a\) : le moindre exposant est 1 (présent dans \(a b^{2}\))
- Pour \(b\) : le moindre exposant est 1 (présent dans \(a^{2} b\))
Factoriser le 7 et \(a b\) : \[ 7 a b ( a - 2 b + 3 a^{2} b^{2} ) \]
Vérifier s’il est possible de simplifier davantage :
- L’expression entre parenthèses ne peut pas être simplifiée davantage.

Réponse simplifiée : \[ 7ab (a - 2b + 3a^{2}b^{2}) \]

Correction de l’exercice 28

Question 28. Simplifiez l’expression suivante :
\[ 0,4 y^{4} - 0,2 y^{3} + 0,6 x y^{5} \]

Solution détaillée :

Nous allons factoriser les coefficients décimaux et identifier les facteurs communs parmi les termes.

Étapes :

Identifier les coefficients et les variables :
- \(0,4y^{4}\)
- \(-0,2y^{3}\)
- \(0,6xy^{5}\)
Rechercher un facteur commun pour les coefficients :
- Tous les coefficients sont divisibles par 0,2.
Factoriser 0,2 : \[ 0,2 (2y^{4} - y^{3} + 3xy^{5}) \]
Vérifier s’il y a un facteur commun des variables :
- Dans les termes 2y⁴, -y³, et 3xy⁵, le facteur commun en \(y\) est \(y^{3}\).
Factoriser \(y^{3}\) à l’intérieur des parenthèses : \[ 0,2 y^{3} (2y - 1 + 3xy^{2}) \]
Conclusion :
- L’expression est simplifiée au maximum possible.

Réponse simplifiée : \[ 0,2y^{3}(2y - 1 + 3xy^{2}) \]

Correction de l’exercice 29

Question 29. Simplifiez l’expression suivante :
\[ 3 a^{7} b + 2 a^{12} b^{4} - 7 a^{4} b^{5} \]

Solution détaillée :

Nous allons rechercher un facteur commun parmi les termes et factoriser l’expression.

Étapes :

Identifier les coefficients et les variables :
- \(3a^{7}b\)
- \(2a^{12}b^{4}\)
- \(-7a^{4}b^{5}\)
Trouver le plus petit exposant de \(a\) et \(b\) dans chaque variable :
- Pour \(a\) : le plus petit exposant est 4
- Pour \(b\) : le plus petit exposant est 1
Factoriser \(a^{4}b\) : \[ a^{4}b (3a^{3} + 2a^{8}b^{3} - 7b^{4}) \]
Vérifier si l’expression entre parenthèses peut être simplifiée :
- Les termes \(3a^{3}\), \(2a^{8}b^{3}\), et \(-7b^{4}\) n’ont pas de facteurs communs supplémentaires.

Réponse simplifiée : \[ a^{4}b (3a^{3} + 2a^{8}b^{3} - 7b^{4}) \]

Correction de l’exercice 30

Question 30. Simplifiez l’expression suivante :
\[ 22 x^{4} y^{5} - 121 x^{6} y^{14} + 132 x^{5} y^{20} \]

Solution détaillée :

Nous allons factoriser les coefficients et les variables communes pour simplifier l’expression.

Étapes :

Identifier les coefficients et les variables :
- \(22x^{4}y^{5}\)
- \(-121x^{6}y^{14}\)
- \(132x^{5}y^{20}\)
Trouver le facteur commun des coefficients :
- Les coefficients 22, -121, et 132 sont tous divisibles par 11.
Identifier le facteur commun des variables :
- Pour \(x\) : le plus petit exposant est 4
- Pour \(y\) : le plus petit exposant est 5
Factoriser \(11x^{4}y^{5}\) : \[ 11x^{4}y^{5} \left( 2 - 11x^{2}y^{9} + 12x y^{15} \right) \]
Vérifier si l’expression entre parenthèses peut être simplifiée davantage :
- Les termes \(2\), \(-11x^{2}y^{9}\), et \(12xy^{15}\) n’ont pas de facteurs communs supplémentaires.

Réponse simplifiée : \[ 11x^{4}y^{5} (2 - 11x^{2}y^{9} + 12xy^{15}) \]