Simplifiez les expressions suivantes :
Résumé des résultats simplifiés :
\(x + y\)
\(\dfrac{1 - 3x}{2}\)
\(\dfrac{1}{x - 2}\)
\(\dfrac{x}{2(7x - y)}\)
\(\dfrac{y^{2}(x^{2} + y)}{x(x + y^{2})}\)
\(\dfrac{2x(x^{2} + 3y^{2})}{3y(2x^{2} - y^{2})}\)
\[ \frac{a x + a y}{a} \]
Étapes de la simplification :
Identifier le facteur commun : Dans le numérateur, \(a\) est un facteur commun aux deux termes \(a x\) et \(a y\).
Factoriser le numérateur : \[ \frac{a x + a y}{a} = \frac{a (x + y)}{a} \]
Simplifier en annulant le facteur commun \(a\) : \[ \frac{a (x + y)}{a} = x + y \]
Résultat simplifié : \[ x + y \]
\[ \frac{3 x - 9 x^{2}}{6 x} \]
Étapes de la simplification :
Factoriser le numérateur : On peut sortir \(3x\) comme facteur commun. \[ \frac{3x - 9x^{2}}{6x} = \frac{3x (1 - 3x)}{6x} \]
Simplifier les facteurs communs : Le facteur \(3x\) au numérateur et \(6x\) au dénominateur ont un facteur commun de \(3x\). \[ \frac{3x (1 - 3x)}{6x} = \frac{(1 - 3x)}{2} \]
Résultat simplifié : \[ \frac{1 - 3x}{2} \]
\[ \frac{-5}{10 - 5 x} \]
Étapes de la simplification :
Factoriser le dénominateur : On peut sortir \(5\) comme facteur commun. \[ \frac{-5}{10 - 5x} = \frac{-5}{5 (2 - x)} \]
Simplifier les facteurs communs : Le facteur \(5\) au dénominateur peut être simplifié avec \(-5\) au numérateur. \[ \frac{-5}{5 (2 - x)} = \frac{-1}{2 - x} \]
Réarranger les termes au dénominateur : Pour une présentation plus standard, on peut écrire \(2 - x\) comme \(-(x - 2)\). \[ \frac{-1}{2 - x} = \frac{1}{x - 2} \]
Résultat simplifié : \[ \frac{1}{x - 2} \]
\[ \frac{3 x^{2}}{42 x^{2} - 6 x y} \]
Étapes de la simplification :
Factoriser le dénominateur : On peut sortir \(6x\) comme facteur commun. \[ \frac{3x^{2}}{42x^{2} - 6xy} = \frac{3x^{2}}{6x (7x - y)} \]
Simplifier les facteurs communs : Le facteur \(3x\) au numérateur et \(6x\) au dénominateur ont un facteur commun de \(3x\). \[ \frac{3x^{2}}{6x (7x - y)} = \frac{x}{2 (7x - y)} \]
Résultat simplifié : \[ \frac{x}{2 (7x - y)} \]
\[ \frac{x^{4} y^{3} + x^{2} y^{4}}{x^{4} y + x^{3} y^{3}} \]
Étapes de la simplification :
Factoriser le numérateur : On peut sortir \(x^{2} y^{3}\) comme facteur commun. \[ x^{4} y^{3} + x^{2} y^{4} = x^{2} y^{3} (x^{2} + y) \]
Factoriser le dénominateur : On peut sortir \(x^{3} y\) comme facteur commun. \[ x^{4} y + x^{3} y^{3} = x^{3} y (x + y^{2}) \]
Simplifier l’expression : \[ \frac{x^{2} y^{3} (x^{2} + y)}{x^{3} y (x + y^{2})} = \frac{y^{2} (x^{2} + y)}{x (x + y^{2})} \]
Résultat simplifié : \[ \frac{y^{2} (x^{2} + y)}{x (x + y^{2})} \]
\[ \frac{2 x^{3} + 6 x y^{2}}{6 x^{2} y - 3 y^{3}} \]
Étapes de la simplification :
Factoriser le numérateur : On peut sortir \(2x\) comme facteur commun. \[ 2x^{3} + 6xy^{2} = 2x (x^{2} + 3 y^{2}) \]
Factoriser le dénominateur : On peut sortir \(3y\) comme facteur commun. \[ 6x^{2}y - 3y^{3} = 3y (2x^{2} - y^{2}) \]
Simplifier l’expression : \[ \frac{2x (x^{2} + 3 y^{2})}{3y (2x^{2} - y^{2})} \]
Reconnaître les différences de carrés au dénominateur : \[ 2x^{2} - y^{2} = (\sqrt{2}x - y)(\sqrt{2}x + y) \] Cependant, il n’y a pas de facteurs communs supplémentaires à simplifier.
Résultat simplifié : \[ \frac{2x (x^{2} + 3 y^{2})}{3y (2x^{2} - y^{2})} \]