Question :
\[ E = (12x + 7)(4x - 5) - (12x + 7)(2x + 3) \]
\[ F = 36x^{2} - 25 \]
Réponse :
\[ E = 2(12x + 7)(x - 4) \]
\[ F = (6x - 5)(6x + 5) \]
\[ E = (12x + 7)(4x - 5) - (12x + 7)(2x + 3) \]
Étape 1 : Identifier le facteur commun
On remarque que le terme \((12x + 7)\) est présent dans les deux expressions. Il s’agit donc d’un facteur commun que l’on peut mettre en évidence.
Étape 2 : Factoriser le facteur commun
Factorisons \((12x + 7)\) :
\[ E = (12x + 7)\left[(4x - 5) - (2x + 3)\right] \]
Étape 3 : Simplifier l’expression à l’intérieur des parenthèses
Calculons la différence à l’intérieur des crochets :
\[ (4x - 5) - (2x + 3) = 4x - 5 - 2x - 3 = (4x - 2x) + (-5 - 3) = 2x - 8 \]
Étape 4 : Réécrire l’expression factorisée
En remplaçant la simplification obtenue :
\[ E = (12x + 7)(2x - 8) \]
Étape 5 (facultative) : Factoriser davantage si possible
On peut factoriser le terme \((2x - 8)\) en mettant le facteur commun \(2\) :
\[ 2x - 8 = 2(x - 4) \]
Ainsi, l’expression factorisée finale devient :
\[ E = 2(12x + 7)(x - 4) \]
\[ F = 36x^{2} - 25 \]
Étape 1 : Reconnaître une différence de carrés
L’expression \(36x^{2} - 25\) est une différence de deux carrés, car :
\[ 36x^{2} = (6x)^{2} \quad \text{et} \quad 25 = 5^{2} \]
Étape 2 : Appliquer la formule de la différence de carrés
La formule de la différence de carrés est :
\[ a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b) \]
En appliquant cette formule à \(F\) :
\[ F = (6x)^{2} - 5^{2} = (6x - 5)(6x + 5) \]
Étape 3 : Vérification
Pour s’assurer de la justesse de la factorisation, développons les facteurs obtenus :
\[ (6x - 5)(6x + 5) = 6x \cdot 6x + 6x \cdot 5 - 5 \cdot 6x - 5 \cdot 5 = 36x^{2} + 30x - 30x - 25 = 36x^{2} - 25 \]
Le développement correspond bien à l’expression initiale. La factorisation est donc correcte.
Conclusion :
\[ F = (6x - 5)(6x + 5) \]