Exercice 2

  1. Simplifiez l’expression suivante : \(4a^{2}(3 - x) - 4a(3 - x) + a(3 - x)\)

  2. Simplifiez l’expression suivante : \(2x(a + b + c) - 7xy(a + b + c) + x^{2}(a + b + c)\)

  3. Simplifiez l’expression suivante : \(a^{2}(2u + 1) - 2ab(2u + 1) + b^{2}(2u + 1)\)

  4. Simplifiez l’expression suivante : \((5a - b)x^{2} - 2xy(5a - b) + y^{2}(5a - b)\)

  5. Simplifiez l’expression suivante : \((7a - b)^{2} - 4a(b - 7a) + 12b(7a - b)\)

  6. Simplifiez l’expression suivante : \(a^{2}(2x + 3) - 4a(2x + 3) - 21(2x + 3)\)

Réponse

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  1. (3 – x) · a(4a – 3)
  2. (a + b + c) · x(2 – 7y + x)
  3. (2u + 1)(a – b)²
  4. (5a – b)(x – y)²
  5. 11(7a – b)(a + b)
  6. (2x + 3)(a – 7)(a + 3)

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée pour chacune des expressions :

────────────────────────────── Exercice 1

On doit simplifier l’expression :   4a²(3 – x) – 4a(3 – x) + a(3 – x)

  1. Constatez que chaque terme comporte le facteur commun (3 – x). On peut donc le factoriser :   (3 – x) [4a² – 4a + a]

  2. Simplifions l’expression entre crochets en regroupant les termes semblables :   4a² – 4a + a = 4a² – 3a

  3. On peut encore factoriser un a dans cette parenthèse :   4a² – 3a = a(4a – 3)

Ainsi, l’expression se réduit à :   (3 – x) · a(4a – 3)

────────────────────────────── Exercice 2

On doit simplifier :   2x(a + b + c) – 7xy(a + b + c) + x²(a + b + c)

  1. Chaque terme contient le facteur (a + b + c). On le factorise :   (a + b + c) [2x – 7xy + x²]

  2. Dans l’expression entre crochets, on remarque que tous les termes contiennent x. On peut donc factoriser x :   2x – 7xy + x² = x (2 – 7y + x)

La simplification finale est :   (a + b + c) · x(2 – 7y + x)

────────────────────────────── Exercice 3

On doit simplifier :   a²(2u + 1) – 2ab(2u + 1) + b²(2u + 1)

  1. Le facteur commun ici est (2u + 1). On le factorise :   (2u + 1)[a² – 2ab + b²]

  2. L’expression entre crochets est un carré parfait :   a² – 2ab + b² = (a – b)²

Le résultat final est :   (2u + 1)(a – b)²

────────────────────────────── Exercice 4

On doit simplifier :   (5a – b)x² – 2xy(5a – b) + y²(5a – b)

  1. Chaque terme comporte (5a – b) comme facteur commun. On le factorise :   (5a – b)[x² – 2xy + y²]

  2. La parenthèse se reconnaît comme un carré :   x² – 2xy + y² = (x – y)²

La simplification aboutit à :   (5a – b)(x – y)²

────────────────────────────── Exercice 5

On doit simplifier :   (7a – b)² – 4a(b – 7a) + 12b(7a – b)

Procédons étape par étape :

  1. Développons le premier terme :   (7a – b)² = 49a² – 14ab + b²

  2. Pour le deuxième terme, appliquons la distributivité en faisant attention au signe :   – 4a(b – 7a) = –4ab + 28a²

  3. Développons le troisième terme :   12b(7a – b) = 84ab – 12b²

  4. Regroupons tous les termes :   49a² – 14ab + b² + 28a² – 4ab + 84ab – 12b²

  5. Regroupons selon les puissances :   a² : 49a² + 28a² = 77a²   ab : (–14ab – 4ab + 84ab) = 66ab   b² : b² – 12b² = –11b²

Ainsi, on a :   77a² + 66ab – 11b²

  1. On peut factoriser le coefficient commun 11 :   77a² + 66ab – 11b² = 11(7a² + 6ab – b²)

  2. Vérifions si le trinôme à l’intérieur se factorise. Cherchons deux nombres dont le produit est (7 × (–1) = –7) et dont la somme est 6. On trouve −1 et 7, car :   7a² + 6ab – b² = (7a – b)(a + b)    [car (7a – b)(a + b) = 7a² + 7ab – ab – b² = 7a² + 6ab – b²]

La forme finale factorisée est donc :   11(7a – b)(a + b)

────────────────────────────── Exercice 6

On doit simplifier :   a²(2x + 3) – 4a(2x + 3) – 21(2x + 3)

  1. On remarque la présence du facteur commun (2x + 3) dans tous les termes. On le factorise :   (2x + 3)[a² – 4a – 21]

  2. Pour simplifier la parenthèse, il faut factoriser le trinôme a² – 4a – 21. Cherchons deux nombres dont le produit est –21 et dont la somme est –4. Nous trouvons −7 et 3, puisque :   (–7) × 3 = –21  et  (–7) + 3 = –4

On peut donc écrire :   a² – 4a – 21 = (a – 7)(a + 3)

La forme finale simplifiée est :   (2x + 3)(a – 7)(a + 3)

────────────────────────────── Récapitulatif des réponses :

  1. (3 – x) · a(4a – 3)

  2. (a + b + c) · x(2 – 7y + x)

  3. (2u + 1)(a – b)²

  4. (5a – b)(x – y)²

  5. 11(7a – b)(a + b)

  6. (2x + 3)(a – 7)(a + 3)

Chaque étape a permis de mettre en évidence le facteur commun, de regrouper les termes, et de reconnaître les identités remarquables pour obtenir la forme la plus simple de l’expression.

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