Simplifiez l’expression suivante : \(4a^{2}(3 - x) - 4a(3 - x) + a(3 - x)\)
Simplifiez l’expression suivante : \(2x(a + b + c) - 7xy(a + b + c) + x^{2}(a + b + c)\)
Simplifiez l’expression suivante : \(a^{2}(2u + 1) - 2ab(2u + 1) + b^{2}(2u + 1)\)
Simplifiez l’expression suivante : \((5a - b)x^{2} - 2xy(5a - b) + y^{2}(5a - b)\)
Simplifiez l’expression suivante : \((7a - b)^{2} - 4a(b - 7a) + 12b(7a - b)\)
Simplifiez l’expression suivante : \(a^{2}(2x + 3) - 4a(2x + 3) - 21(2x + 3)\)
Voici la correction détaillée pour chacune des expressions :
────────────────────────────── Exercice 1
On doit simplifier l’expression : 4a²(3 – x) – 4a(3 – x) + a(3 – x)
Constatez que chaque terme comporte le facteur commun (3 – x). On peut donc le factoriser : (3 – x) [4a² – 4a + a]
Simplifions l’expression entre crochets en regroupant les termes semblables : 4a² – 4a + a = 4a² – 3a
On peut encore factoriser un a dans cette parenthèse : 4a² – 3a = a(4a – 3)
Ainsi, l’expression se réduit à : (3 – x) · a(4a – 3)
────────────────────────────── Exercice 2
On doit simplifier : 2x(a + b + c) – 7xy(a + b + c) + x²(a + b + c)
Chaque terme contient le facteur (a + b + c). On le factorise : (a + b + c) [2x – 7xy + x²]
Dans l’expression entre crochets, on remarque que tous les termes contiennent x. On peut donc factoriser x : 2x – 7xy + x² = x (2 – 7y + x)
La simplification finale est : (a + b + c) · x(2 – 7y + x)
────────────────────────────── Exercice 3
On doit simplifier : a²(2u + 1) – 2ab(2u + 1) + b²(2u + 1)
Le facteur commun ici est (2u + 1). On le factorise : (2u + 1)[a² – 2ab + b²]
L’expression entre crochets est un carré parfait : a² – 2ab + b² = (a – b)²
Le résultat final est : (2u + 1)(a – b)²
────────────────────────────── Exercice 4
On doit simplifier : (5a – b)x² – 2xy(5a – b) + y²(5a – b)
Chaque terme comporte (5a – b) comme facteur commun. On le factorise : (5a – b)[x² – 2xy + y²]
La parenthèse se reconnaît comme un carré : x² – 2xy + y² = (x – y)²
La simplification aboutit à : (5a – b)(x – y)²
────────────────────────────── Exercice 5
On doit simplifier : (7a – b)² – 4a(b – 7a) + 12b(7a – b)
Procédons étape par étape :
Développons le premier terme : (7a – b)² = 49a² – 14ab + b²
Pour le deuxième terme, appliquons la distributivité en faisant attention au signe : – 4a(b – 7a) = –4ab + 28a²
Développons le troisième terme : 12b(7a – b) = 84ab – 12b²
Regroupons tous les termes : 49a² – 14ab + b² + 28a² – 4ab + 84ab – 12b²
Regroupons selon les puissances : a² : 49a² + 28a² = 77a² ab : (–14ab – 4ab + 84ab) = 66ab b² : b² – 12b² = –11b²
Ainsi, on a : 77a² + 66ab – 11b²
On peut factoriser le coefficient commun 11 : 77a² + 66ab – 11b² = 11(7a² + 6ab – b²)
Vérifions si le trinôme à l’intérieur se factorise. Cherchons deux nombres dont le produit est (7 × (–1) = –7) et dont la somme est 6. On trouve −1 et 7, car : 7a² + 6ab – b² = (7a – b)(a + b) [car (7a – b)(a + b) = 7a² + 7ab – ab – b² = 7a² + 6ab – b²]
La forme finale factorisée est donc : 11(7a – b)(a + b)
────────────────────────────── Exercice 6
On doit simplifier : a²(2x + 3) – 4a(2x + 3) – 21(2x + 3)
On remarque la présence du facteur commun (2x + 3) dans tous les termes. On le factorise : (2x + 3)[a² – 4a – 21]
Pour simplifier la parenthèse, il faut factoriser le trinôme a² – 4a – 21. Cherchons deux nombres dont le produit est –21 et dont la somme est –4. Nous trouvons −7 et 3, puisque : (–7) × 3 = –21 et (–7) + 3 = –4
On peut donc écrire : a² – 4a – 21 = (a – 7)(a + 3)
La forme finale simplifiée est : (2x + 3)(a – 7)(a + 3)
────────────────────────────── Récapitulatif des réponses :
(3 – x) · a(4a – 3)
(a + b + c) · x(2 – 7y + x)
(2u + 1)(a – b)²
(5a – b)(x – y)²
11(7a – b)(a + b)
(2x + 3)(a – 7)(a + 3)
Chaque étape a permis de mettre en évidence le facteur commun, de regrouper les termes, et de reconnaître les identités remarquables pour obtenir la forme la plus simple de l’expression.