Exercice 1

Factorise si possible

\(x^{2} + 6xy + 9y^{2} =\)
\(4a^{2} + 12a + 9 =\)
\(25m^{2} - 20mn + 4n^{2} =\)
\(49x^{2} - 14x + 1 =\)
\(b^{2} - 64 =\)
\(81p^{2} - 36q^{2} =\)
\(c^{2} - 16 + 8c =\)
\(36r^{2} - 48rs + 16s^{2} =\)
\(\dfrac{9}{25}x^{2} + \dfrac{6}{5}xy + y^{2} =\)
\(121k^{2} + 16y^{2} =\)
\(9x^{2} + 30x - 21 =\)
\(-25d^{2} + 100e^{2} =\)
\(45x^{2} - 180y^{2} =\)
\(100a^{2} + 60ab + 9b^{2} =\)
\(64x^{2} + 32x + 16 =\)

Factorise si possible

\(6x + 6z =\)
\(yz + yx =\)
\(20mn - 25n =\)
\(3x^{2} - 3x^{2}z =\)
\(18x^{3} - 27x^{2} + 24x =\)
\(9 + 15x + 36x^{2} =\)
\(5x^{2} + 16 =\)
\(18a^{2}b - 54ab^{2} + 36ab =\)
\(25x^{2} - 36 =\)
\(v^{2} + 9y^{2} - 6vy =\)
\(50x^{2}y^{2} - 15xy + 25xy^{2} =\)
\(3x^{2} - 3 =\)
\(25x^{2} - 25x + 10 =\)
\(x^{4} - 16 =\)

Factorise

\(-200x^{2}y^{2} - 60xy + 60xy^{2} =\)
\(36y^{2} + 4 - 12y =\)
\(49c^{2} - 144a^{2} =\)
\(64x^{2} + 48x + 16 =\)

Questions

Si un rectangle \(PQRS\) a ses côtés doublés, comment cela affecte-t-il son périmètre par rapport au rectangle initial ?
L’affirmation suivante est-elle toujours vraie ?

Soient quatre nombres entiers consécutifs. La somme des deux premiers est égale à la somme des deux derniers.

Réponse

Réponse courte :

I – Factorisations : a) (x + 3y)² b) (2a + 3)² c) (5m – 2n)² d) (7x – 1)²
e) (b – 8)(b + 8) f) (9p – 6q)(9p + 6q) g) (c + 4 – 4√2)(c + 4 + 4√2)
h) (6r – 4s)² i) ((3/5)x + y)² j) non factorisable
k) 3(3x² + 10x – 7) l) 25(2e – d)(2e + d) m) 45(x – 2y)(x + 2y)
n) (10a + 3b)² o) 16(4x² + 2x + 1)

II – Factorisations : a) 6(x + z) b) y(x + z) c) 5n(4m – 5) d) 3x²(1 – z)
e) 3x(6x² – 9x + 8) f) 3(12x² + 5x + 3) g) 5x² + 16
h) 18ab(a – 3b + 2) i) (5x – 6)(5x + 6) j) (v – 3y)²
k) xy(50xy – 15 + 25y) l) 3(x – 1)(x + 1) m) 5(5x² – 5x + 2)
n) (x – 2)(x + 2)(x² + 4)

III – Factorisations : a) –20xy(10xy + 3 – 3y) b) 4(9y² – 3y + 1)
c) (7c – 12a)(7c + 12a) d) 16(4x² + 3x + 1)

IV – Questions de réflexion : 1. Le périmètre double quand on double les côtés.
2. La somme des deux premiers nombres consécutifs n’est pas égale à celle des deux derniers.

Corrigé détaillé

Nous allons traiter chaque expression et question en détaillant, étape par étape, la démarche de factorisation ou de réflexion.

────────────────────────────── I – PREMIÈRE PARTIE : Factorisation (premier ensemble d’expressions)

Factoriser x² + 6xy + 9y²
• Remarquer que 6xy = 2·x·3y et 9y² = (3y)².
• L’expression se met sous la forme d’un carré parfait :
x² + 6xy + 9y² = (x + 3y)².

────────────────────────────── b) Factoriser 4a² + 12a + 9
• On constate que 4a² = (2a)² et 9 = 3².
• Le terme du milieu est 12a = 2·(2a)·3
• Donc, 4a² + 12a + 9 = (2a + 3)².

────────────────────────────── c) Factoriser 25m² – 20m n + 4n²
• On écrit 25m² = (5m)² et 4n² = (2n)².
• Le terme du milieu vérifie 2·(5m)·(–2n) = –20m n.
• Ainsi, 25m² – 20m n + 4n² = (5m – 2n)².

────────────────────────────── d) Factoriser 49x² – 14x + 1
• On remarque 49x² = (7x)², 1 = 1² et le terme du milieu 14x = 2·(7x)·1, (avec le signe négatif, 2·(7x)·(–1))
• On écrit : 49x² – 14x + 1 = (7x – 1)².

────────────────────────────── e) Factoriser b² – 64
• On reconnaît une différence de deux carrés car 64 = 8².
• On obtient : b² – 64 = (b – 8)(b + 8).

────────────────────────────── f) Factoriser 81p² – 36q²
• On écrit 81p² = (9p)² et 36q² = (6q)².
• La différence de deux carrés donne : (9p – 6q)(9p + 6q).
• On peut également remarquer un facteur commun 3 dans chaque binôme (puisque 9p = 3·3p et 6q = 3·2q) mais la forme initiale est acceptable.
• Réponse : 81p² – 36q² = (9p – 6q)(9p + 6q).

────────────────────────────── g) Factoriser c² – 16 + 8c
• Il est préférable de réécrire l’expression sous forme canonique en ordonnant selon c :
c² + 8c – 16.
• On cherche à factoriser un trinôme. Calcul du discriminant :
Δ = 8² – 4·1·(–16) = 64 + 64 = 128.
• Comme Δ = 128 n’est pas un carré parfait, la factorisation à coefficients entiers n’est pas possible.
• Cependant, en utilisant les racines, on trouve :
c = [–8 ± √128] / 2 = [–8 ± 8√2] / 2 = –4 ± 4√2.
• Ainsi, la factorisation sur ℝ est :
c² + 8c – 16 = (c + 4 – 4√2)(c + 4 + 4√2).

────────────────────────────── h) Factoriser 36r² – 48r s + 16s²
• Remarquer que 36r² = (6r)², 16s² = (4s)² et le terme du milieu 48r s = 2·(6r)·(4s).
• L’expression est un carré parfait :
36r² – 48r s + 16s² = (6r – 4s)².

────────────────────────────── i) Factoriser (9/25)x² + (6/5)xy + y²
• On reconnaît que (9/25)x² = [(3/5)x]² et y² = (y)².
• Le terme du milieu correspond à 2·(3/5)x·y = (6/5)xy.
• Ainsi,
(9/25)x² + (6/5)xy + y² = ((3/5)x + y)².

────────────────────────────── j) Factoriser 121k² + 16y²
• Cette somme de deux carrés ne se factorise pas en produit de facteurs polynomiaux à coefficients entiers (ou réels de manière factorisée sans introduire de nombres complexes).
• Réponse : 121k² + 16y² est non factorisable (dans ℝ) sous forme « développée ».

────────────────────────────── k) Factoriser 9x² + 30x – 21
• On vérifie s’il est possible de factoriser ce trinôme.
• On peut remarquer qu’il existe un facteur commun 3 dans tous les termes :
9x² + 30x – 21 = 3(3x² + 10x – 7).
• Pour le trinôme 3x² + 10x – 7, on examine le discriminant :
Δ = 10² – 4·3·(–7) = 100 + 84 = 184.
• Comme Δ n’est pas un carré parfait, ce trinôme ne se factorise pas avec des facteurs à coefficients entiers.
• Réponse acceptable : 9x² + 30x – 21 = 3(3x² + 10x – 7).

────────────────────────────── l) Factoriser –25d² + 100e²
• On peut extraire un facteur commun :
–25d² + 100e² = 25(–d² + 4e²).
• Remarquer que –d² + 4e² = 4e² – d² est une différence de deux carrés, car 4e² = (2e)² et d² = (d)².
• Ainsi : 4e² – d² = (2e – d)(2e + d).
• On obtient finalement : 25(–d² + 4e²) = 25(2e – d)(2e + d).

────────────────────────────── m) Factoriser 45x² – 180y²
• On remarque que 45 est commun aux deux termes :
45x² – 180y² = 45(x² – 4y²).
• Ensuite, x² – 4y² est une différence de carrés :
x² – 4y² = (x – 2y)(x + 2y).
• Donc : 45x² – 180y² = 45(x – 2y)(x + 2y).

────────────────────────────── n) Factoriser 100a² + 60ab + 9b²
• Identifier que 100a² = (10a)², 9b² = (3b)² et que 60ab = 2·(10a)·(3b).
• Ainsi, c’est un carré parfait :
100a² + 60ab + 9b² = (10a + 3b)².

────────────────────────────── o) Factoriser 64x² + 32x + 16
• On peut extraire un facteur commun 16 :
64x² + 32x + 16 = 16(4x² + 2x + 1).
• Pour le trinôme 4x² + 2x + 1, on calcule le discriminant :
Δ = 2² – 4·4·1 = 4 – 16 = –12.
• Le trinôme n’admet donc pas de décomposition en facteurs linéaires réels (autre que sous forme « irréductible »).
• Réponse finale : 64x² + 32x + 16 = 16(4x² + 2x + 1).

────────────────────────────── II – DEUXIÈME PARTIE : Factorisation (second ensemble d’expressions)

Factoriser 6x + 6z
• Extraire le facteur commun 6 :
6x + 6z = 6(x + z).

────────────────────────────── b) Factoriser yz + yx
• Extraire le facteur commun y :
yz + yx = y(z + x) = y(x + z).

────────────────────────────── c) Factoriser 20m n – 25n
• Chaque terme possède n. Extraire n :
20m n – 25n = n(20m – 25).
• Noter que 20m – 25 a un facteur 5 commun :
20m – 25 = 5(4m – 5).
• Ainsi, la factorisation complète est :
n(20m – 25) = 5n(4m – 5).

────────────────────────────── d) Factoriser 3x² – 3x²z
• Extraire 3x² (facteur commun) :
3x² – 3x²z = 3x²(1 – z).

────────────────────────────── e) Factoriser 18x³ – 27x² + 24x
• On remarque que chaque terme contient au moins x et que les coefficients (18, 27 et 24) sont tous divisibles par 3.
• Extraire 3x :
18x³ – 27x² + 24x = 3x(6x² – 9x + 8).
• Le trinôme 6x² – 9x + 8 n’admet pas de décomposition évidente avec des coefficients entiers (son discriminant est négatif).
• La factorisation s’arrête donc ici.

────────────────────────────── f) Factoriser 9 + 15x + 36x²
• Il est préférable d’écrire l’expression en ordre décroissant :
36x² + 15x + 9.
• On remarque que tous les termes sont divisibles par 3 :
36x² + 15x + 9 = 3(12x² + 5x + 3).
• Le trinôme 12x² + 5x + 3 n’a pas de racines rationnelles (son discriminant est 25 – 144 = –119).
• La factorisation finale est donc : 3(12x² + 5x + 3).

────────────────────────────── g) Factoriser 5x² + 16
• Aucun facteur commun n’existe et l’expression ne se présente pas comme une différence ou somme de carrés pouvant être factorisée en polynômes à coefficients entiers.
• Réponse : 5x² + 16 reste tel quel.

────────────────────────────── h) Factoriser 18a²b – 54ab² + 36ab
• On constate que chaque terme possède a, b et que les coefficients (18, 54, 36) ont un facteur commun.
• Extraire le facteur 18ab :
18a²b – 54ab² + 36ab = 18ab(a – 3b + 2).
• L’expression dans la parenthèse ne se factorise pas davantage.

────────────────────────────── i) Factoriser 25x² – 36
• Écrire 25x² = (5x)² et 36 = (6)².
• C’est une différence de deux carrés donc :
25x² – 36 = (5x – 6)(5x + 6).

────────────────────────────── j) Factoriser v² + 9y² – 6v y
• Réordonner les termes pour repérer un carré parfait :
v² – 6v y + 9y².
• On reconnaît 9y² = (3y)² et –6v y = 2·v·(–3y).
• Donc, v² – 6v y + 9y² = (v – 3y)².

────────────────────────────── k) Factoriser 50x²y² – 15xy + 25xy²
• Les trois termes comportent un facteur xy. L’extraction de ce facteur donne :
50x²y² – 15xy + 25xy² = xy(50xy – 15 + 25y).
• On peut remarquer que dans l’expression entre parenthèses, aucun facteur commun n’est à extraire pour obtenir une factorisation plus simple.
• Réponse finale : xy(50xy – 15 + 25y)
ou, si l’on préfère, en factorisant 5 : 5xy(10xy – 3 + 5y).

────────────────────────────── l) Factoriser 3x² – 3
• Extraire 3 (facteur commun) :
3x² – 3 = 3(x² – 1).
• Puis, x² – 1 est une différence de deux carrés :
x² – 1 = (x – 1)(x + 1).
• Donc : 3x² – 3 = 3(x – 1)(x + 1).

────────────────────────────── m) Factoriser 25x² – 25x + 10
• On remarque qu’aucun facteur commun n’existe pour tous les termes (25, 25 et 10 n’ont qu’un 5 en commun).
• On peut extraire 5 :
25x² – 25x + 10 = 5(5x² – 5x + 2).
• Le discriminant de 5x² – 5x + 2 est :
Δ = (–5)² – 4·5·2 = 25 – 40 = –15.
• Il n’y a donc pas de décomposition en facteurs linéaires à coefficients réels simples.
• Réponse : 5(5x² – 5x + 2).

────────────────────────────── n) Factoriser x⁴ – 16
• On écrit x⁴ = (x²)² et 16 = 4².
• C’est une différence de deux carrés :
x⁴ – 16 = (x² – 4)(x² + 4).
• De plus, x² – 4 se factorise en une différence de deux carrés :
x² – 4 = (x – 2)(x + 2).
• La factorisation finale est : (x – 2)(x + 2)(x² + 4).

────────────────────────────── III – TROISIÈME PARTIE : Factorisation (troisième ensemble d’expressions)

Factoriser –200x²y² – 60xy + 60xy²
• On remarque qu’un facteur commun est présent dans chaque terme.
Les coefficients –200, –60, 60 ont un commun diviseur 20 et chaque terme contient au moins xy.
• Choisissons d’extraire 20xy. Pour gérer le signe, il est souvent commode d’extraire –20xy :
–200x²y² ÷ (–20xy) = 10xy
–60xy ÷ (–20xy) = 3
60xy² ÷ (–20xy) = –3y
• On obtient :
–200x²y² – 60xy + 60xy² = –20xy (10xy + 3 – 3y).
• La parenthèse ne se simplifie pas davantage.

────────────────────────────── b) Factoriser 36y² + 4 – 12y
• Réordonner l’expression en écrivant les termes décroissants en y :
36y² – 12y + 4.
• On constate que tous les termes sont pairs ; extraire 2 :
36y² – 12y + 4 = 2(18y² – 6y + 2).
• On peut encore extraire 2 de l’intérieur, puisque 18, 6 et 2 le permettent :
18y² – 6y + 2 = 2(9y² – 3y + 1).
• Ainsi, l’expression se réécrit :
36y² – 12y + 4 = 4(9y² – 3y + 1).
• Le trinôme 9y² – 3y + 1 ne se factorise pas davantage avec des coefficients entiers.

────────────────────────────── c) Factoriser 49c² – 144a²
• On écrit 49c² = (7c)² et 144a² = (12a)².
• C’est une différence de deux carrés :
49c² – 144a² = (7c – 12a)(7c + 12a).

────────────────────────────── d) Factoriser 64x² + 48x + 16
• Extraire le facteur commun 16 :
64x² + 48x + 16 = 16(4x² + 3x + 1).
• Le trinôme 4x² + 3x + 1 a un discriminant :
Δ = 3² – 4·4·1 = 9 – 16 = –7,
donc il ne se factorise pas en facteurs linéaires réels supplémentaires.
• La factorisation finale est : 16(4x² + 3x + 1).

────────────────────────────── IV – QUESTIONS DE RÉFLEXION

Si un rectangle PQRS a ses côtés doublés, comment cela affecte-t-il son périmètre par rapport au rectangle initial ?
• Soit le rectangle initial de dimensions L et l. Son périmètre est P = 2(L + l).
• Si l’on double chaque côté, les nouvelles dimensions deviennent 2L et 2l.
• Le nouveau périmètre est alors P’ = 2(2L + 2l) = 4(L + l).
• On voit donc que P’ = 2 · P.
• Réponse : Le périmètre est doublé par rapport à celui du rectangle initial.

────────────────────────────── 2. Soient quatre nombres entiers consécutifs. La somme des deux premiers est-elle égale à la somme des deux derniers ?
• Appelons ces nombres n, n + 1, n + 2, et n + 3.
• La somme des deux premiers est : S₁ = n + (n + 1) = 2n + 1.
• La somme des deux derniers est : S₂ = (n + 2) + (n + 3) = 2n + 5.
• Comparons S₁ et S₂ :
2n + 1 ≠ 2n + 5, car 1 ≠ 5.
• Réponse : L’affirmation est fausse, la somme des deux premiers n’est pas égale à la somme des deux derniers pour quatre entiers consécutifs.

────────────────────────────── RÉSUMÉ DES RÉPONSES

I – Factorisations (premier ensemble) : a) (x + 3y)²
b) (2a + 3)²
c) (5m – 2n)²
d) (7x – 1)²
e) (b – 8)(b + 8)
f) (9p – 6q)(9p + 6q)
g) (c + 4 – 4√2)(c + 4 + 4√2)
h) (6r – 4s)²
i) ((3/5)x + y)²
j) Non factorisable (dans ℝ)
k) 3(3x² + 10x – 7)
l) 25(2e – d)(2e + d)
m) 45(x – 2y)(x + 2y)
n) (10a + 3b)²
o) 16(4x² + 2x + 1)

II – Factorisations (second ensemble) : a) 6(x + z)
b) y(x + z)
c) 5n(4m – 5)
d) 3x²(1 – z)
e) 3x(6x² – 9x + 8)
f) 3(12x² + 5x + 3)
g) 5x² + 16
h) 18ab(a – 3b + 2)
i) (5x – 6)(5x + 6)
j) (v – 3y)²
k) xy(50xy – 15 + 25y) [ou équivalent à 5xy(10xy + 5y – 3)]
l) 3(x – 1)(x + 1)
m) 5(5x² – 5x + 2)
n) (x – 2)(x + 2)(x² + 4)

III – Factorisations (troisième ensemble) : a) –20xy(10xy + 3 – 3y)
b) 4(9y² – 3y + 1)
c) (7c – 12a)(7c + 12a)
d) 16(4x² + 3x + 1)

IV – Réponses aux questions : 1. Le périmètre est doublé.
2. L’affirmation est fausse.

Chaque étape a été détaillée pour clarifier les méthodes utilisées. N’hésitez pas à relire chaque étape pour bien comprendre le procédé de factorisation et les raisonnements derrière les réponses des questions.