Exercice 5
La largeur d’un rectangle est égale à la moitié de sa longueur. Si on augmente les dimensions de ce rectangle de 5 m, l’aire augmenterait de \(25 \, \mathrm{m}^2\). Calculez les dimensions du rectangle.
Réponse
Longueur = 10 m et largeur = 5 m.
Corrigé détaillé
On vous propose de déterminer la longueur (L) et la largeur (l) d’un rectangle en sachant que l’on a la relation suivante entre elles : la largeur est égale à la moitié de la longueur, c’est-à-dire
l = L/2.
De plus, on nous indique que si l’on augmente la longueur de 5 m, l’aire du rectangle augmente de 25 m². (Remarque : même si l’énoncé parle de « dimensions », nous verrons que la seule modification nécessaire pour obtenir l’augmentation annoncée de l’aire est celle de la longueur.)
Voici les étapes détaillées pour résoudre ce problème :
- Définition de l’aire initiale
La longueur du rectangle est L et sa largeur est l = L/2. L’aire A₁ du rectangle initial s’exprime donc par : A₁ = L × (L/2) = L²/2.
- Définition de l’aire après augmentation de la longueur
Si l’on augmente la longueur de 5 m, la nouvelle longueur devient L + 5. La largeur reste inchangée (toujours égale à L/2). Ainsi, la nouvelle aire A₂ est : A₂ = (L + 5) × (L/2) = [L(L + 5)]/2.
- Expression de l’augmentation de l’aire
L’augmentation de l’aire est la différence entre la nouvelle aire et l’aire initiale : A₂ – A₁ = [L(L + 5)]/2 – L²/2. On peut mettre les deux fractions sur le même dénominateur : A₂ – A₁ = [L(L + 5) – L²] / 2. Développons le numérateur : L(L + 5) – L² = L² + 5L – L² = 5L. Ainsi, A₂ – A₁ = (5L) / 2.
D’après l’énoncé, l’augmentation de l’aire est de 25 m². On a donc : (5L) / 2 = 25.
- Résolution de l’équation
Pour trouver L, on résout l’équation : (5L) / 2 = 25. Multiplions les deux côtés de l’équation par 2 pour éliminer le dénominateur : 5L = 25 × 2, 5L = 50. Ensuite, divisons par 5 : L = 50 / 5, L = 10.
- Détermination de la largeur
Puisque la largeur l est la moitié de la longueur L, on a : l = L/2 = 10/2 = 5.
- Vérification
Calculons l’aire initiale : A₁ = L × l = 10 × 5 = 50 m². Après augmentation de la longueur, la nouvelle aire est : A₂ = (L + 5) × l = 15 × 5 = 75 m². La différence d’aire est alors : A₂ – A₁ = 75 – 50 = 25 m², ce qui correspond bien à l’énoncé.
Conclusion :
Les dimensions du rectangle initial sont donc : Longueur = 10 m et Largeur = 5 m.