Pour chacun des énoncés suivants, déterminer deux nombres \(x\) et \(y\) tels que :
\(x \cdot y = 6\) et \(x + y = 5\).
\(x \cdot y = 12\) et \(x + y = 7\).
\(x \cdot y = 12\) et \(x + y = 8\).
\(x \cdot y = 12\) et \(x + y = 13\).
\(x \cdot y = 12\) et \(x + y = -7\).
\(x \cdot y = -5\) et \(x + y = +4\).
Résumé des Solutions :
Chaque paire de nombres satisfait les conditions de somme et de produit données.
Pour résoudre chaque énoncé, nous cherchons deux nombres \(x\) et \(y\) tels que: \[ \begin{cases} x \cdot y = P \\ x + y = S \end{cases} \] où \(P\) est le produit et \(S\) est la somme des deux nombres. Pour trouver \(x\) et \(y\), nous pouvons utiliser la méthode suivante:
Passons maintenant à chaque exercice.
Étape 1 : Écrire l’équation quadratique
Nous savons que \(P = 6\) et \(S = 5\). L’équation devient : \[ t^2 - 5t + 6 = 0 \]
Étape 2 : Résoudre l’équation quadratique
Factorisons l’équation : \[ t^2 - 5t + 6 = (t - 2)(t - 3) = 0 \] Les solutions sont : \[ t - 2 = 0 \Rightarrow t = 2 \] \[ t - 3 = 0 \Rightarrow t = 3 \]
Conclusion : Les nombres recherchés sont \(x = 2\) et \(y = 3\).
Étape 1 : Écrire l’équation quadratique
Ici, \(P = 12\) et \(S = 7\). L’équation est : \[ t^2 - 7t + 12 = 0 \]
Étape 2 : Résoudre l’équation quadratique
Factorisons : \[ t^2 - 7t + 12 = (t - 3)(t - 4) = 0 \] Les solutions sont : \[ t = 3 \quad \text{ou} \quad t = 4 \]
Conclusion : Les nombres sont \(x = 3\) et \(y = 4\).
Étape 1 : Écrire l’équation quadratique
Avec \(P = 12\) et \(S = 8\), l’équation devient : \[ t^2 - 8t + 12 = 0 \]
Étape 2 : Résoudre l’équation quadratique
Factorisons : \[ t^2 - 8t + 12 = (t - 2)(t - 6) = 0 \] Les solutions sont : \[ t = 2 \quad \text{ou} \quad t = 6 \]
Conclusion : Les nombres sont \(x = 2\) et \(y = 6\).
Étape 1 : Écrire l’équation quadratique
Ici, \(P = 12\) et \(S = 13\). L’équation est : \[ t^2 - 13t + 12 = 0 \]
Étape 2 : Résoudre l’équation quadratique
Factorisons : \[ t^2 - 13t + 12 = (t - 1)(t - 12) = 0 \] Les solutions sont : \[ t = 1 \quad \text{ou} \quad t = 12 \]
Conclusion : Les nombres sont \(x = 1\) et \(y = 12\).
Étape 1 : Écrire l’équation quadratique
Pour cet énoncé, \(P = 12\) et \(S = -7\). L’équation devient : \[ t^2 + 7t + 12 = 0 \] Remarque : Le signe de \(S\) est négatif, donc dans l’équation quadratique, le terme en \(t\) devient \(+7t\).
Étape 2 : Résoudre l’équation quadratique
Factorisons : \[ t^2 + 7t + 12 = (t + 3)(t + 4) = 0 \] Les solutions sont : \[ t = -3 \quad \text{ou} \quad t = -4 \]
Conclusion : Les nombres sont \(x = -3\) et \(y = -4\).
Étape 1 : Écrire l’équation quadratique
Dans ce cas, \(P = -5\) et \(S = 4\). L’équation est : \[ t^2 - 4t - 5 = 0 \]
Étape 2 : Résoudre l’équation quadratique
Pour factoriser \(t^2 - 4t - 5\), cherchons deux nombres dont le produit est \(-5\) et la somme est \(-4\). Ces nombres sont \(-5\) et \(+1\).
Ainsi : \[ t^2 - 4t - 5 = (t - 5)(t + 1) = 0 \] Les solutions sont : \[ t = 5 \quad \text{ou} \quad t = -1 \]
Conclusion : Les nombres sont \(x = 5\) et \(y = -1\).
Chaque paire de nombres satisfait les conditions données pour le produit et la somme.