Exercice 38
Résoudre les inéquations suivantes :
\(2x^{2} - \frac{3x - 7}{2} \geq 2x \left(x - \frac{1}{2}\right) - \frac{2x - 2}{4}\)
\((x + 2)^{2} - 5x \leq (x - 4)^{2} - 7x\)
\((x + 3)(x - 2) - 2(x - 3) < x + 4 + (x - 4)(x + 2)\)
\(7x - (2x - 1)^{2} + 3x \leq -\left(2x - \frac{1}{2}\right)^{2} + 10x\)
\(5x + 4x^{2} + \frac{1}{2} < (2x - 1)^{2} - \frac{1}{2}\)
\(3x^{3} - 7x + 2 \geq 3x \left(x^{2} - 2\right)\)
Réponse
Résumé des solutions :
- \(\mathbb{R}\)
- \(x \leq \dfrac{6}{7}\)
- Pas de solution
- \(x \leq \dfrac{3}{8}\)
- \(x < 0\)
- \(x \leq 2\)
Corrigé détaillé
Correction de l’exercice
Résolvons les inéquations suivantes une par une en détaillant chaque étape.
1) \(2x^{2} - \frac{3x - 7}{2} \geq 2x \left(x - \frac{1}{2}\right) - \frac{2x - 2}{4}\)
Étape 1 : Développer et simplifier les deux côtés de l’inéquation.
Développons le côté droit :
\[ 2x \left(x - \frac{1}{2}\right) = 2x \cdot x - 2x \cdot \frac{1}{2} = 2x^{2} - x \]
\[ \frac{2x - 2}{4} = \frac{2(x - 1)}{4} = \frac{x - 1}{2} \]
Ainsi, le côté droit devient :
\[ 2x^{2} - x - \frac{x - 1}{2} \]
Étape 2 : Mettre l’inéquation sous la forme standard \(ax^2 + bx + c \geq 0\).
Revenons à l’inéquation initiale :
\[ 2x^{2} - \frac{3x - 7}{2} \geq 2x^{2} - x - \frac{x - 1}{2} \]
Soustrayons \(2x^{2}\) des deux côtés :
\[ - \frac{3x - 7}{2} \geq -x - \frac{x - 1}{2} \]
Multiply both sides by 2 to eliminate denominators:
\[ - (3x - 7) \geq -2x - (x - 1) \]
Simplifions :
\[ -3x + 7 \geq -2x - x + 1 \Rightarrow -3x + 7 \geq -3x + 1 \]
Étape 3 : Résoudre l’inéquation.
Ajoutons \(3x\) des deux côtés :
\[ 7 \geq 1 \]
Cette inégalité est toujours vraie, quelles que soient les valeurs de \(x\). Ainsi, la solution est l’ensemble des réels.
\[ \boxed{\mathbb{R}} \]
2) \((x + 2)^{2} - 5x \leq (x - 4)^{2} - 7x\)
Étape 1 : Développer les deux côtés de l’inéquation.
\[ (x + 2)^{2} = x^{2} + 4x + 4 \] \[ (x - 4)^{2} = x^{2} - 8x + 16 \]
L’inéquation devient :
\[ x^{2} + 4x + 4 - 5x \leq x^{2} - 8x + 16 - 7x \]
Simplifions :
\[ x^{2} - x + 4 \leq x^{2} - 15x + 16 \]
Étape 2 : Mettre tous les termes d’un côté.
Soustrayons \(x^{2}\) des deux côtés :
\[ - x + 4 \leq -15x + 16 \]
Ajoutons \(15x\) des deux côtés :
\[ 14x + 4 \leq 16 \]
Étape 3 : Résoudre pour \(x\).
Soustrayons 4 des deux côtés :
\[ 14x \leq 12 \]
Divisons par 14 :
\[ x \leq \frac{12}{14} = \frac{6}{7} \]
\[ \boxed{x \leq \dfrac{6}{7}} \]
3) \((x + 3)(x - 2) - 2(x - 3) < x + 4 + (x - 4)(x + 2)\)
Étape 1 : Développer les produits.
\[ (x + 3)(x - 2) = x^{2} + 3x - 2x - 6 = x^{2} + x - 6 \] \[ -2(x - 3) = -2x + 6 \] \[ (x - 4)(x + 2) = x^{2} - 4x + 2x - 8 = x^{2} - 2x - 8 \]
L’inéquation devient :
\[ x^{2} + x - 6 - 2x + 6 < x + 4 + x^{2} - 2x - 8 \]
Simplifions :
\[ x^{2} - x < x^{2} - x - 4 \]
Étape 2 : Mettre tous les termes d’un côté.
Soustrayons \(x^{2}\) et ajoutons \(x\) des deux côtés :
\[ 0 < -4 \]
Cette inégalité est fausse. Il n’y a aucune solution.
\[ \boxed{\text{Pas de solution}} \]
4) \(7x - (2x - 1)^{2} + 3x \leq -\left(2x - \frac{1}{2}\right)^{2} + 10x\)
Étape 1 : Développer les carrés.
\[ (2x - 1)^{2} = 4x^{2} - 4x + 1 \] \[ \left(2x - \frac{1}{2}\right)^{2} = 4x^{2} - 2x + \frac{1}{4} \]
L’inéquation devient :
\[ 7x - (4x^{2} - 4x + 1) + 3x \leq -\left(4x^{2} - 2x + \frac{1}{4}\right) + 10x \]
Simplifions :
\[ 7x - 4x^{2} + 4x - 1 + 3x \leq -4x^{2} + 2x - \frac{1}{4} + 10x \]
\[ -4x^{2} + 14x -1 \leq -4x^{2} + 12x - \frac{1}{4} \]
Étape 2 : Simplifier l’inéquation.
Ajoutons \(4x^{2}\) des deux côtés :
\[ 14x - 1 \leq 12x - \frac{1}{4} \]
Soustrayons \(12x\) des deux côtés :
\[ 2x - 1 \leq - \frac{1}{4} \]
Ajoutons 1 des deux côtés :
\[ 2x \leq \frac{3}{4} \]
Divisons par 2 :
\[ x \leq \frac{3}{8} \]
\[ \boxed{x \leq \dfrac{3}{8}} \]
5) \(5x + 4x^{2} + \frac{1}{2} < (2x - 1)^{2} - \frac{1}{2}\)
Étape 1 : Développer le carré.
\[ (2x - 1)^{2} = 4x^{2} - 4x + 1 \]
L’inéquation devient :
\[ 5x + 4x^{2} + \frac{1}{2} < 4x^{2} - 4x + 1 - \frac{1}{2} \]
Simplifions :
\[ 5x + 4x^{2} + \frac{1}{2} < 4x^{2} - 4x + \frac{1}{2} \]
Étape 2 : Mettre tous les termes d’un côté.
Soustrayons \(4x^{2}\) et \(\frac{1}{2}\) des deux côtés :
\[ 5x < -4x \]
Ajoutons \(4x\) des deux côtés :
\[ 9x < 0 \]
Divisons par 9 :
\[ x < 0 \]
\[ \boxed{x < 0} \]
6) \(3x^{3} - 7x + 2 \geq 3x \left(x^{2} - 2\right)\)
Étape 1 : Développer le côté droit.
\[ 3x \left(x^{2} - 2\right) = 3x^{3} - 6x \]
L’inéquation devient :
\[ 3x^{3} - 7x + 2 \geq 3x^{3} - 6x \]
Étape 2 : Mettre tous les termes d’un côté.
Soustrayons \(3x^{3}\) des deux côtés :
\[ -7x + 2 \geq -6x \]
Ajoutons \(7x\) des deux côtés :
\[ 2 \geq x \]
\[ \boxed{x \leq 2} \]