Question : La largeur d’un rectangle est égale au tiers de sa longueur.
Si l’on quadruple sa largeur et augmente sa longueur de 12 cm, on obtient un second rectangle dont l’aire est supérieure de \(480~\mathrm{cm}^{2}\) à celle du premier.
Quelles sont les dimensions du premier rectangle ?
Les dimensions du premier rectangle sont : - Longueur : environ 15,33 cm - Largeur : environ 5,11 cm
Correction détaillée
Nous devons déterminer les dimensions du premier rectangle en suivant les informations données.
Étape 1 : Définir les variables
Étape 2 : Calculer l’aire du premier rectangle
L’aire \(A_1\) du premier rectangle est donnée par : \[ A_1 = L \times l = L \times \frac{1}{3}L = \frac{1}{3}L^2 \]
Étape 3 : Décrire les modifications apportées au rectangle
Étape 4 : Calculer l’aire du second rectangle
L’aire \(A_2\) du second rectangle est : \[ A_2 = (L + 12) \times \frac{4}{3}L = \frac{4}{3}L(L + 12) = \frac{4}{3}L^2 + 16L \]
Étape 5 : Établir l’équation basée sur l’augmentation de l’aire
Il est indiqué que \(A_2\) est supérieure à \(A_1\) de \(480~\mathrm{cm}^{2}\) : \[ A_2 = A_1 + 480 \] En remplaçant \(A_1\) et \(A_2\) par leurs expressions : \[ \frac{4}{3}L^2 + 16L = \frac{1}{3}L^2 + 480 \]
Étape 6 : Résoudre l’équation pour \(L\)
Simplifions l’équation : \[ \frac{4}{3}L^2 + 16L - \frac{1}{3}L^2 = 480 \] \[ \left(\frac{4}{3} - \frac{1}{3}\right)L^2 + 16L = 480 \] \[ \frac{3}{3}L^2 + 16L = 480 \] \[ L^2 + 16L - 480 = 0 \]
Nous obtenons une équation quadratique : \[ L^2 + 16L - 480 = 0 \]
Étape 7 : Appliquer la formule quadratique
Pour résoudre \(L^2 + 16L - 480 = 0\), utilisons la formule : \[ L = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] où \(a = 1\), \(b = 16\), et \(c = -480\).
Calculons le discriminant : \[ \Delta = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \times 1 \times (-480) = 256 + 1920 = 2176 \]
Donc, \[ L = \frac{-16 \pm \sqrt{2176}}{2} \] Simplifions \(\sqrt{2176}\) : \[ \sqrt{2176} = \sqrt{16 \times 136} = 4\sqrt{136} = 4\sqrt{16 \times 8.5} = 16\sqrt{34} \] Cependant, pour simplifier le calcul, nous pouvons approximer : \[ \sqrt{2176} \approx 46.65 \] Ainsi, \[ L = \frac{-16 + 46.65}{2} \approx \frac{30.65}{2} \approx 15.325~\text{cm} \] \[ L = \frac{-16 - 46.65}{2} \approx \frac{-62.65}{2} \approx -31.325~\text{cm} \] Puisque la longueur ne peut pas être négative, nous avons : \[ L \approx 15.325~\text{cm} \] Arrondissons à deux décimales : \[ L \approx 15.33~\text{cm} \]
Étape 8 : Déterminer la largeur du premier rectangle
La largeur \(l\) est : \[ l = \frac{1}{3}L \approx \frac{1}{3} \times 15.33 \approx 5.11~\text{cm} \]
Conclusion
Les dimensions du premier rectangle sont approximativement : - Longueur : \(15.33~\text{cm}\) - Largeur : \(5.11~\text{cm}\)