Résoudre les équations suivantes :
\((x - 5) \cdot (x + 4) - (x - 8) \cdot (x + 8) = 7x\)
\((x - 1) \cdot (2x + 1) = (x - 1) \cdot (x + 2) + x^{2}\)
\((2x + 3)^{2} = (3 - x)^{2} + 3x \cdot (x - 1)\)
\((x - 1) \cdot (x + 1) - (2x + 1) \cdot (x - 3) = 4 - x^{2}\)
\((2x + 1)^{2} + (x + 2) \cdot (x - 3) = (3x - 1) \cdot (3x + 1) - (2x + 3)^{2}\)
\((x - 2) \cdot (x - 1) + (x - 3) \cdot (x - 4) = 2x \cdot (x - 3) - 4\)
Récapitulatif des solutions :
1) x = 11/2
2) x = 1/2
3) x = 0
4) x = 2/5
5) x = –1/3
6) x = 9/2
Nous allons résoudre chacune des équations proposées étape par étape.
────────────────────────────── Exercice 1) Équation : (x – 5) · (x + 4) – (x – 8) · (x + 8) = 7x
Développons les produits : • (x – 5)(x + 4) = x² + 4x – 5x – 20 = x² – x – 20 • (x – 8)(x + 8) = x² – 64 (identité de la différence de deux carrés)
Remplaçons dans l’équation : x² – x – 20 – (x² – 64) = 7x
Simplifions : x² – x – 20 – x² + 64 = –x + 44 Donc, –x + 44 = 7x
Isolons x : –x + 44 = 7x ⟹ 44 = 7x + x = 8x ⟹ x = 44/8 = 11/2
La solution est : x = 11/2.
────────────────────────────── Exercice 2) Équation : (x – 1) · (2x + 1) = (x – 1) · (x + 2) + x²
Développons chaque terme : • (x – 1)(2x + 1) = 2x² + x – 2x – 1 = 2x² – x – 1 • (x – 1)(x + 2) = x² + 2x – x – 2 = x² + x – 2
Remplaçons dans l’équation : 2x² – x – 1 = (x² + x – 2) + x²
Simplifions le côté droit : x² + x – 2 + x² = 2x² + x – 2
L’équation devient donc : 2x² – x – 1 = 2x² + x – 2
Soustrayons 2x² des deux côtés : –x – 1 = x – 2
Isolons x : –x – 1 – x = –2 ⟹ –2x – 1 = –2 Ajoutons 1 des deux côtés : –2x = –1 ⟹ 2x = 1 ⟹ x = 1/2
La solution est : x = 1/2.
────────────────────────────── Exercice 3) Équation : (2x + 3)² = (3 – x)² + 3x · (x – 1)
Développons les expressions au carré : • (2x + 3)² = 4x² + 12x + 9 • (3 – x)² = 9 – 6x + x²
Développons le produit restant : 3x · (x – 1) = 3x² – 3x
La somme sur le côté droit devient : (3 – x)² + 3x(x – 1) = (9 – 6x + x²) + (3x² – 3x) = 4x² – 9x + 9
L’équation se transforme : 4x² + 12x + 9 = 4x² – 9x + 9
Simplifions en soustrayant 4x² + 9 des deux côtés : 12x = –9x ⟹ 12x + 9x = 0 ⟹ 21x = 0 ⟹ x = 0
La solution est : x = 0.
────────────────────────────── Exercice 4) Équation : (x – 1)(x + 1) – (2x + 1)(x – 3) = 4 – x²
Développons les produits : • (x – 1)(x + 1) = x² – 1 (identité de la différence de deux carrés) • (2x + 1)(x – 3) = 2x² – 6x + x – 3 = 2x² – 5x – 3
Remplaçons : x² – 1 – (2x² – 5x – 3) = 4 – x²
Développons la soustraction : x² – 1 – 2x² + 5x + 3 = –x² + 5x + 2
L’équation devient : –x² + 5x + 2 = 4 – x²
Additionnons x² des deux côtés pour les éliminer : 5x + 2 = 4
Isolex x : 5x = 4 – 2 = 2 ⟹ x = 2/5
La solution est : x = 2/5.
────────────────────────────── Exercice 5) Équation : (2x + 1)² + (x + 2)(x – 3) = (3x – 1)(3x + 1) – (2x + 3)²
Calculons chaque terme : a) (2x + 1)² = 4x² + 4x + 1 b) (x + 2)(x – 3) = x² – 3x + 2x – 6 = x² – x – 6 Donc, côté gauche : 4x² + 4x + 1 + x² – x – 6 = 5x² + 3x – 5
Côté droit : a) (3x – 1)(3x + 1) = 9x² – 1 (identité de la différence de deux carrés) b) (2x + 3)² = 4x² + 12x + 9 Donc, côté droit : 9x² – 1 – (4x² + 12x + 9) = 9x² – 1 – 4x² – 12x – 9 = 5x² – 12x – 10
Écrivons l’équation : 5x² + 3x – 5 = 5x² – 12x – 10
Soustrayons 5x² de part et d’autre : 3x – 5 = –12x – 10
Isolons x : 3x + 12x = –10 + 5 ⟹ 15x = –5 ⟹ x = –5/15 = –1/3
La solution est : x = –1/3.
────────────────────────────── Exercice 6) Équation : (x – 2)(x – 1) + (x – 3)(x – 4) = 2x · (x – 3) – 4
Développons chaque produit : a) (x – 2)(x – 1) = x² – x – 2x + 2 = x² – 3x + 2 b) (x – 3)(x – 4) = x² – 4x – 3x + 12 = x² – 7x + 12 c) Somme sur le côté gauche : x² – 3x + 2 + x² – 7x + 12 = 2x² – 10x + 14
Développons le côté droit : 2x · (x – 3) = 2x² – 6x, puis en soustrayant 4 : 2x² – 6x – 4
Écrivons l’équation : 2x² – 10x + 14 = 2x² – 6x – 4
Soustrayons 2x² des deux côtés : –10x + 14 = –6x – 4
Regroupons les termes avec x : –10x + 14 + 6x + 4 = 0 ⟹ –4x + 18 = 0
Isolex x : –4x = –18 ⟹ 4x = 18 ⟹ x = 18/4 = 9/2
La solution est : x = 9/2.
────────────────────────────── Récapitulatif des solutions :
Chaque équation a été résolue en développant les expressions et en simplifiant les côtés de l’égalité pour isoler la variable x. Cette méthode permet de trouver, pas à pas, la valeur de x qui vérifie chacune des équations.