Exercice 32

Question : Déterminez s’il existe un nombre réel \(x\) tel que \[ x = 2 + \frac{3}{x} \].

Réponse

Réponse : Les solutions de l’équation sont x = 3 et x = −1.

Corrigé détaillé

Pour résoudre l’équation

  x = 2 + (3/x),

nous allons chercher tous les nombres réels x qui vérifient cette égalité.

1. Étape 1 : Éliminer la fraction
   Comme x apparaît au dénominateur, pour se débarrasser de la fraction, on multiplie chaque côté de l’équation par x (en précisant que x ≠ 0, car la division par zéro n’est pas permise). On obtient :

  x × x = x × [2 + (3/x)]

Ce qui donne :

  x² = 2x + 3.

2. Étape 2 : Mettre l’équation sous forme canonique
   Pour obtenir une équation du second degré sous la forme ax² + bx + c = 0, on soustrait 2x et 3 de chaque côté de l’équation :

  x² − 2x − 3 = 0.

3. Étape 3 : Résoudre l’équation du second degré
   Nous allons maintenant résoudre l’équation quadratique x² − 2x − 3 = 0.
   Pour cela, nous pouvons utiliser la méthode de factorisation ou la formule quadratique. Voyons d’abord si l’équation se factorise.

Nous cherchons deux nombres dont le produit est égal à −3 et dont la somme est égale à −2.
Remarquons que :   1 × (−3) = −3 et 1 + (−3) = −2.

Cela permet d’écrire :

  x² − 2x − 3 = (x + 1)(x − 3) = 0.

4. Étape 4 : Trouver les solutions
   D’après la propriété du produit nul, nous savons que (x + 1)(x − 3) = 0 si, et seulement si, l’un des deux facteurs est nul.

  • x + 1 = 0  ⟹  x = −1,
  • x − 3 = 0  ⟹  x = 3.

5. Étape 5 : Vérifier les solutions
   Il est important de vérifier que chacune des solutions trouvées satisfait bien l’équation d’origine et qu’aucune ne viole la condition x ≠ 0.

  Pour x = 3 :
    Remplaçons dans l’équation initiale :
    3 = 2 + (3/3)
    3 = 2 + 1
    3 = 3
    La solution x = 3 est donc valable.

  Pour x = −1 :
    Remplaçons dans l’équation initiale :
    −1 = 2 + (3/(−1))
    −1 = 2 − 3
    −1 = −1
    La solution x = −1 est également valable.

Conclusion :
Il existe bien des nombres réels x qui vérifient l’équation de départ, et ils sont :

  x = 3  et  x = −1.